大阪大学 工学研究科 機械工学専攻 2013年8月実施 数学 問題2

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• 大阪大学
• 柯西–黎曼方程
• 调和函数与共轭调和函数

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祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

問題2（解答用紙：白）

以下の問いに答えなさい。

(1) 複素数 $z=x+iy$ の複素数値関数 $f(z)=u+iv$ を考える。ここで、$i$ は虚数単位であり、$x$ と $y$ は実数、$u$ と $v$ は $x$ と $y$ の実数値関数である。次式が成り立つとき、$u$ と $v$ の関係を示しなさい。ただし $\delta x,\delta y$ は実数とする。

$$\lim_{\delta x\to0}\frac{f(z+\delta x)-f(z)}{\delta x} =\lim_{\delta y\to0}\frac{f(z+i\delta y)-f(z)}{i\delta y}$$

(2) $c$ を任意の複素数の定数とするとき、$\cos cz$ が小問 (1) で求めた関係式を満たすことを示しなさい。

(3) 任意の正則な関数 $f(z)$ に対し、次式を満たす関数 $g(z)$ が定数となることを示しなさい。また、その定数の値を求めなさい。ただし $f'(z)$ は $f(z)$ の $z$ に関する導関数である。

$$\frac{\partial^2(|f(z)|^2)}{\partial x^2} +\frac{\partial^2(|f(z)|^2)}{\partial y^2} =g(z)|f'(z)|^2$$

题目描述

问题2（使用白色答题纸）

回答下列问题。

(1) 考虑复数 $z=x+iy$ 的复值函数 $f(z)=u+iv$。其中 $i$ 为虚数单位，$x,y$ 为实数，$u,v$ 为 $x,y$ 的实值函数。当下式成立时，给出 $u$ 与 $v$ 的关系。$\delta x,\delta y$ 均为实数。

$$\lim_{\delta x\to0}\frac{f(z+\delta x)-f(z)}{\delta x} =\lim_{\delta y\to0}\frac{f(z+i\delta y)-f(z)}{i\delta y}$$

(2) 设 $c$ 为任意复常数，证明 $\cos cz$ 满足 (1) 所得的关系式。

(3) 对任意解析函数 $f(z)$，证明满足下式的函数 $g(z)$ 为常数，并求该常数值。其中 $f'(z)$ 是 $f(z)$ 关于 $z$ 的导数。

$$\frac{\partial^2(|f(z)|^2)}{\partial x^2} +\frac{\partial^2(|f(z)|^2)}{\partial y^2} =g(z)|f'(z)|^2$$

Kai

(1)

実軸方向と虚軸方向の差商の極限は、それぞれ

$$u_x+iv_x,\qquad \frac{u_y+iv_y}{i}=v_y-iu_y$$

である。実部と虚部を比較すると、Cauchy–Riemann の関係式

$$\boxed{u_x=v_y,\qquad u_y=-v_x}$$

を得る。

(2)

$c=\alpha+i\beta$ とし、$\xi=\alpha x-\beta y$、$\eta=\beta x+\alpha y$ とおく。$cz=\xi+i\eta$ より

$$\cos cz=\cos\xi\cosh\eta-i\sin\xi\sinh\eta,$$

すなわち $u=\cos\xi\cosh\eta$、$v=-\sin\xi\sinh\eta$ である。したがって

$$\begin{aligned} u_x&=-\alpha\sin\xi\cosh\eta+\beta\cos\xi\sinh\eta=v_y,\\ u_y&=\beta\sin\xi\cosh\eta+\alpha\cos\xi\sinh\eta=-v_x. \end{aligned}$$

よって任意の複素数定数 $c$ に対して (1) の関係が成り立つ。

(3)

正則関数の実部 $u$ と虚部 $v$ は調和関数なので、$\Delta u=\Delta v=0$ である。よって

$$\begin{aligned} \Delta|f|^2 &=\Delta(u^2+v^2)\\ &=2(u_x^2+u_y^2+v_x^2+v_y^2)+2u\Delta u+2v\Delta v\\ &=4(u_x^2+v_x^2)=4|f'(z)|^2. \end{aligned}$$

ここで3行目には Cauchy–Riemann の関係を用いた。すべての正則関数に共通する係数は

$$\boxed{g(z)=4}.$$

実際、$f(z)=z$ を選べば $|f'|^2=1$ であるから、係数が $4$ に定まることも分かる。