大阪大学工学研究科機械工学専攻 2014年度数学問題2

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祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

以下の問いに答えなさい。

複素数 $z=x+iy$ の複素数値関数 $f(z)=u+iv$ を考える。ただし、 $i$ は虚数単位、 $x,y$ は実数、 $u,v$ は $x,y$ の実数値関数である。次式が成り立つとき、 $u,v$ の間に成り立つ関係を示しなさい。ただし、 $\delta x,\delta y$ は実数とする。

$\lim_{\delta x\to0}\frac{f(z+\delta x)-f(z)}{\delta x} =\lim_{\delta y\to0}\frac{f(z+i\delta y)-f(z)}{i\delta y}.$
$c$ を任意の複素数定数とするとき、 $\cos cz$ が (1) で得られた関係を満たすことを示しなさい。
任意の正則関数 $f(z)$ に対して、次式を満たす関数 $g(z)$ が定数となることを示し、その定数を求めなさい。ただし、 $f'(z)$ は $f(z)$ の導関数である。

$\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}\right)|f(z)|^2 =g(z)|f'(z)|^2.$

令 $z=x+iy$ 、 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ ，其中 $x,y,u,v$ 均为实数， $i$ 为虚数单位。若沿实轴与虚轴方向计算的差商极限相等，即上式成立，求 $u,v$ 应满足的关系。
对任意复常数 $c$ ，证明 $\cos cz$ 满足第 (1) 问的关系。
对任意全纯函数 $f(z)$ ，证明使 $\left(\partial_x^2+\partial_y^2\right)|f(z)|^2=g(z)|f'(z)|^2$ 成立的公共系数 $g(z)$ 为常数，并求其值。

実軸方向と虚軸方向の差商の極限は、それぞれ

u_x+iv_x,\qquad \frac{u_y+iv_y}{i}=v_y-iu_y

である。実部と虚部を比較すると、Cauchy–Riemann の関係式

\boxed{u_x=v_y,\qquad u_y=-v_x}

を得る。

$c=\alpha+i\beta$ とし、 $\xi=\alpha x-\beta y$ 、 $\eta=\beta x+\alpha y$ とおく。 $cz=\xi+i\eta$ より

\cos cz=\cos\xi\cosh\eta-i\sin\xi\sinh\eta,

すなわち $u=\cos\xi\cosh\eta$ 、 $v=-\sin\xi\sinh\eta$ である。したがって

\begin{aligned} u_x&=-\alpha\sin\xi\cosh\eta+\beta\cos\xi\sinh\eta=v_y,\\ u_y&=\beta\sin\xi\cosh\eta+\alpha\cos\xi\sinh\eta=-v_x. \end{aligned}

よって任意の複素数定数 $c$ に対して (1) の関係が成り立つ。

正則関数の実部 $u$ と虚部 $v$ は調和関数なので、 $\Delta u=\Delta v=0$ である。よって

\begin{aligned} \Delta|f|^2 &=\Delta(u^2+v^2)\\ &=2(u_x^2+u_y^2+v_x^2+v_y^2)+2u\Delta u+2v\Delta v\\ &=4(u_x^2+v_x^2)=4|f'(z)|^2. \end{aligned}

ここで3行目には Cauchy–Riemann の関係を用いた。すべての正則関数に共通する係数は

\boxed{g(z)=4}.

実際、 $f(z)=z$ を選べば $|f'|^2=1$ であるから、係数が $4$ に定まることも分かる。