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大阪大学 工学研究科 機械工学専攻 2014年度 数学 問題1

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Author​

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description​

直交デカルト座標系（xyzxyz 座標系）において、任意の点の位置ベクトルを r⃗\vec r とし、r=∣r⃗∣r=|\vec r| とする。また、ϕ(r)\phi(r) は rr のみを変数とするスカラー関数であり、ϕ(r)\phi(r) の rr による1階、2階微分をそれぞれ ϕ′(r)\phi'(r)、ϕ′′(r)\phi''(r) とする。このとき、以下の問いに答えなさい。

  1. ∇⋅[ϕ(r)r⃗]\nabla\cdot[\phi(r)\vec r] を展開し、x,y,zx,y,z を用いずに表しなさい。
  2. ∇×[ϕ(r)r⃗]\nabla\times[\phi(r)\vec r] を展開し、x,y,zx,y,z を用いずに表しなさい。
  3. ∇2ϕ(r)\nabla^2\phi(r) を展開し、x,y,zx,y,z を用いずに表しなさい。
  4. ϕ(r1)=p1\phi(r_1)=p_1、ϕ(r2)=p2\phi(r_2)=p_2 の条件の下で、∇2ϕ(r)=0\nabla^2\phi(r)=0 を満たす ϕ(r)\phi(r) を求めなさい。ただし、r1,r2r_1,r_2 は互いに異なる正の定数、p1,p2p_1,p_2 は実数の定数とする。

题目描述​

在直角坐标系中，以 r⃗\vec r 表示位置向量，r=∣r⃗∣r=|\vec r|。标量函数 ϕ(r)\phi(r) 只依赖于 rr，其一阶、二阶导数分别记为 ϕ′(r)\phi'(r)、ϕ′′(r)\phi''(r)。

  1. 展开 ∇⋅[ϕ(r)r⃗]\nabla\cdot[\phi(r)\vec r]，结果不使用 x,y,zx,y,z。
  2. 展开 ∇×[ϕ(r)r⃗]\nabla\times[\phi(r)\vec r]，结果不使用 x,y,zx,y,z。
  3. 展开 ∇2ϕ(r)\nabla^2\phi(r)，结果不使用 x,y,zx,y,z。
  4. 在 ϕ(r1)=p1\phi(r_1)=p_1、ϕ(r2)=p2\phi(r_2)=p_2 下求解 ∇2ϕ(r)=0\nabla^2\phi(r)=0。其中 r1,r2r_1,r_2 为互不相同的正常数，p1,p2p_1,p_2 为实常数。

Kai​

以下では r>0r>0 とする。まず、∇r=r⃗/r\nabla r=\vec r/r より

∇ϕ(r)=ϕ′(r)r⃗r\nabla\phi(r)=\phi'(r)\frac{\vec r}{r}

である。

(1)​

積の微分と ∇⋅r⃗=3\nabla\cdot\vec r=3 から

∇⋅[ϕ(r)r⃗]=∇ϕ(r)⋅r⃗+ϕ(r)∇⋅r⃗=rϕ′(r)+3ϕ(r).\nabla\cdot[\phi(r)\vec r] =\nabla\phi(r)\cdot\vec r+\phi(r)\nabla\cdot\vec r =\boxed{r\phi'(r)+3\phi(r)}.

(2)​

∇×r⃗=0⃗\nabla\times\vec r=\vec 0 であり、∇ϕ(r)\nabla\phi(r) と r⃗\vec r は平行なので

∇×[ϕ(r)r⃗]=∇ϕ(r)×r⃗+ϕ(r)∇×r⃗=0⃗.\nabla\times[\phi(r)\vec r] =\nabla\phi(r)\times\vec r+\phi(r)\nabla\times\vec r =\boxed{\vec 0}.

(3)​

(1) を ϕ′(r)/r\phi'(r)/r に適用すると

∇2ϕ(r)=∇⋅[ϕ′(r)rr⃗]=rddr(ϕ′(r)r)+3ϕ′(r)r=ϕ′′(r)+2rϕ′(r).\begin{aligned} \nabla^2\phi(r) &=\nabla\cdot\left[\frac{\phi'(r)}r\vec r\right]\\ &=r\frac{d}{dr}\left(\frac{\phi'(r)}r\right)+3\frac{\phi'(r)}r =\boxed{\phi''(r)+\frac2r\phi'(r)}. \end{aligned}

(4)​

(3) より (r2ϕ′)′=0(r^2\phi')'=0 であるから、一般解は ϕ(r)=A/r+B\phi(r)=A/r+B となる。境界条件を代入すると

A=r1r2(p1−p2)r2−r1,B=p2r2−p1r1r2−r1.A=\frac{r_1r_2(p_1-p_2)}{r_2-r_1},\qquad B=\frac{p_2r_2-p_1r_1}{r_2-r_1}.

したがって

ϕ(r)=r1r2(p1−p2)(r2−r1)r+p2r2−p1r1r2−r1.\boxed{\phi(r)=\frac{r_1r_2(p_1-p_2)}{(r_2-r_1)r} +\frac{p_2r_2-p_1r_1}{r_2-r_1}}.
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