大阪大学 工学研究科 機械工学専攻 2014年度 機械力学・機構学 問題1

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• 简正模与耦合振子
• 刚体转动惯量

Author

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

図のように、質量を無視できる長さ $\ell$ の棒 OP の端 O を固定点に回転自由に支持し、端 P に質量 $m$、直径 $\sqrt2\ell$ の一様な薄い円板を回転自由に取り付ける。円板の中心を Q とし、$PQ=\ell/2$ とする。棒と円板は同じ鉛直面内で運動する。OP と PQ がそれぞれ鉛直下向きとなす角を $\theta,\phi$ とし、いずれも反時計回りを正とする。

P にねじりばねを取り付け、棒と円板の相対角 $\phi-\theta$ が $0$ のときに復元モーメントが $0$ となる。ばね定数は $mg\ell k$ とする。ここで $k\ge0$ は無次元の定数である。重力加速度を $g$ とし、$\theta=\phi=0$ 付近の微小運動を考える。摩擦、空気抵抗、棒・円板の厚さ、ばねの質量を無視する。

1. 系の運動エネルギーとポテンシャルエネルギーを求めよ。
2. 運動方程式を求めよ。
3. 2 つの固有角振動数 $\omega_1,\omega_2$（$\omega_1>\omega_2$）を求めよ。
4. $k\to\infty$ のときの $\omega_2$ の極限を求めよ。

题目描述

如图，无质量杆 OP 长 $\ell$，O 点固定且可自由转动。P 处铰接均匀薄圆盘，圆盘质量为 $m$、直径为 $\sqrt2\ell$，中心为 Q，且 $PQ=\ell/2$。杆和圆盘在同一竖直面内运动。OP、PQ 分别与竖直向下方向的夹角为 $\theta,\phi$，两角均以逆时针为正。

P 处安装扭转弹簧，相对角 $\phi-\theta=0$ 时恢复力矩为零，扭转刚度为 $mg\ell k$，其中 $k\ge0$ 无量纲。重力加速度为 $g$，考虑 $\theta=\phi=0$ 附近的小运动。忽略摩擦、空气阻力、杆及圆盘厚度和弹簧质量。

1. 求动能和势能。
2. 求运动方程。
3. 求两个固有角频率 $\omega_1>\omega_2$。
4. 求 $k\to\infty$ 时 $\omega_2$ 的极限。

Kai

(1)

円板の半径は $\ell/\sqrt2$ なので、中心 Q まわりの慣性モーメントは

$$I_Q=\frac12m\left(\frac{\ell}{\sqrt2}\right)^2 =\frac{m\ell^2}{4}.$$

Q の座標を右向き $X$、上向き $Y$ で表すと

$$X_Q=\ell\sin\theta+\frac\ell2\sin\phi, \qquad Y_Q=-\ell\cos\theta-\frac\ell2\cos\phi.$$

よって、重心の並進と重心まわりの回転を合わせて

$$\begin{aligned} T&=\frac m2(\dot X_Q^2+\dot Y_Q^2)+\frac{I_Q}{2}\dot\phi^2\\ &=\boxed{\frac{m\ell^2}{2}\dot\theta^2 +\frac{m\ell^2}{2}\cos(\theta-\phi)\dot\theta\dot\phi +\frac{m\ell^2}{4}\dot\phi^2}. \end{aligned}$$

$\theta=\phi=0$ を位置エネルギーの基準とすると

$$\boxed{U=mg\ell\left[(1-\cos\theta)+\frac12(1-\cos\phi) +\frac{k}{2}(\phi-\theta)^2\right]}.$$

微小運動の計算では、これらの二次部分

$$T_2=\frac{m\ell^2}{2}\dot\theta^2 +\frac{m\ell^2}{2}\dot\theta\dot\phi +\frac{m\ell^2}{4}\dot\phi^2,$$

$$U_2=\frac{mg\ell}{2}\left[\theta^2+\frac12\phi^2+k(\phi-\theta)^2\right]$$

を用いる。$\phi$ は円板の絶対角なので、P の速度と円板の相対運動による速度の交差項を残す必要がある。

(2)

$\mathcal L=T_2-U_2$ に Lagrange の方程式を適用すると

$$\boxed{m\ell^2\left(\ddot\theta+\frac12\ddot\phi\right) +mg\ell\left[(1+k)\theta-k\phi\right]=0},$$

$$\boxed{m\ell^2\left(\frac12\ddot\theta+\frac12\ddot\phi\right) +mg\ell\left[-k\theta+\left(\frac12+k\right)\phi\right]=0}.$$

(3)

$\lambda=\omega^2\ell/g$ とおくと、固有値条件は

$$\det\left[ \begin{pmatrix}1+k&-k\\-k&1/2+k\end{pmatrix} -\lambda\begin{pmatrix}1&1/2\\1/2&1/2\end{pmatrix} \right]=0.$$

したがって

$$\lambda^2-(4+10k)\lambda+(2+6k)=0,$$

$$\boxed{\omega_1=\sqrt{\frac g\ell\left(2+5k+\sqrt{25k^2+14k+2}\right)}},$$

$$\boxed{\omega_2=\sqrt{\frac g\ell\left(2+5k-\sqrt{25k^2+14k+2}\right)}}.$$

(4)

小さい固有値を有理化すると

$$\lambda_2= \frac{2+6k}{2+5k+\sqrt{25k^2+14k+2}} \longrightarrow\frac35.$$

よって

$$\boxed{\lim_{k\to\infty}\omega_2=\sqrt{\frac{3g}{5\ell}}}.$$

実際、ばねが無限に硬い極限では $\theta=\phi$ となり、Q は O から $3\ell/2$ にある。全慣性モーメントは $I_O=m(3\ell/2)^2+I_Q=5m\ell^2/2$、重力による角剛性は $3mg\ell/2$ だから、同じ結果が得られる。