大阪大学 工学研究科 機械工学専攻 2013年度 材料力学 問題1

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• 弯曲应力
• 扭转
• 卡斯蒂利亚诺定理

Author

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

図のように、直径 $d$ の一様な円形断面をもつ棒を T 字形に結合し、端 D を壁に固定する。A、B、C、D は同一水平面内にあり、AB と CD は C で直交する。長さは $AC=4L$、$CB=2L$、$CD=L$ である。A、B にそれぞれ鉛直下向きの集中荷重 $P$、$Q$ が作用する。棒の縦弾性係数を $E$、横弾性係数を $G$ とし、自重を無視する。

1. $Q=0$ のとき、固定端 D に生じる最大垂直応力を求めよ。
2. $Q=0$ のとき、A および B の鉛直方向変位を求めよ。
3. A の鉛直方向変位を $0$ にするために必要な荷重 $Q$ を求めよ。

题目描述

如图，直径为 $d$ 的均匀圆截面杆组成 T 形，在 D 端固定。A、B、C、D 位于同一水平面，AB 与 CD 在 C 处垂直，且 $AC=4L$、$CB=2L$、$CD=L$。A、B 处分别作用竖直向下的集中力 $P$、$Q$。纵向弹性模量为 $E$，剪切模量为 $G$，忽略自重。

1. $Q=0$ 时，求固定端 D 的最大正应力。
2. $Q=0$ 时，求 A、B 的竖直位移。
3. 求使 A 的竖直位移为零所需的 $Q$。

Kai

円形断面の断面二次モーメントと断面二次極モーメントを

$$I=\frac{\pi d^4}{64},\qquad J=\frac{\pi d^4}{32}$$

とする。鉛直下向きの変位を正にとる。

(1)

$Q=0$ のとき、CD の固定端における曲げモーメントの大きさは $PL$、ねじりモーメントは $4PL$ である。ねじりはせん断応力を生じるが、棒軸方向の垂直応力には寄与しない。よって

$$\boxed{\sigma_{\max}=\frac{PL(d/2)}{I}=\frac{32PL}{\pi d^3}}.$$

反対側の外周には同じ大きさの圧縮応力が生じる。

(2)

一般の $P,Q$ に対し、CD の曲げ、CA と CB の曲げ、CD のねじりによるひずみエネルギーを加えると

$$U=\frac{(P+Q)^2L^3}{6EI} +\frac{P^2(4L)^3}{6EI} +\frac{Q^2(2L)^3}{6EI} +\frac{(4PL-2QL)^2L}{2GJ}.$$

Castigliano の定理より

$$\begin{aligned} u_A&=\frac{\partial U}{\partial P} =\frac{(65P+Q)L^3}{3EI}+\frac{(16P-8Q)L^3}{GJ},\\ u_B&=\frac{\partial U}{\partial Q} =\frac{(P+9Q)L^3}{3EI}+\frac{(-8P+4Q)L^3}{GJ}. \end{aligned}$$

したがって $Q=0$ のとき

$$\boxed{u_A=\frac{65PL^3}{3EI}+\frac{16PL^3}{GJ} =\frac{4160PL^3}{3\pi Ed^4}+\frac{512PL^3}{\pi Gd^4}},$$

$$\boxed{u_B=\frac{PL^3}{3EI}-\frac{8PL^3}{GJ} =\frac{64PL^3}{3\pi Ed^4}-\frac{256PL^3}{\pi Gd^4}}.$$

$u_B$ が負なら B は上向きに移動する。

(3)

$u_A=0$ と $J=2I$ より

$$(65G+24E)P+(G-12E)Q=0.$$

ゆえに

$$\boxed{Q=\frac{24E+65G}{12E-G}\,P}.$$

ここで $12E\ne G$ とする。$12E>G$ なら図の下向き、$12E<G$ なら上向きの力が必要である。$12E=G$ では $Q$ による A の変位が $0$ となるため、$P\ne0$ に対して条件を満たす有限の $Q$ は存在しない。