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大阪大学 工学研究科 電気電子情報工学専攻 2020年8月実施 基礎科目 電気電子回路1

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蛋黄猫物理 (xhs: 94162357270)

Description​

図１の回路において，t<0t < 0（tt は時刻を表す）でスイッチ SW1 は閉じており，スイッチ SW2 は開いている． このとき，回路は定常状態にあるとする． つぎに，t=0t = 0 で SW1 を開き，SW2 を閉じる． 以下の問いに答えよ．ただし，図のように，電圧 v1(t),v2(t)v_1(t), v_2(t), 電流 i(t)i(t) を定義し，v2(0−)=0v_2(0^-) = 0 とする． また，R1,R2,C1,C2,ER_1, R_2, C_1, C_2,E はすべて正の実定数とする．

(1) t=0t = 0 の直前 (t=0−)(t = 0^-) での，電流 i(t)i(t) と電圧 v1(t)v_1(t) を求めよ．

(2) t=0t = 0 の直後 (t=0+)(t = 0^+) での，電流 i(t)i(t) と電圧 v1(t)v_1(t) を求めよ．

(3) t>0t > 0 における電流 i(t)i(t) のラプラス変換 I(s)I(s) を求めよ．

(4) R1=3Ω,R2=2Ω,C1=C2=1F,E=15VR_1 = 3\Omega, R_2 = 2\Omega, C_1 = C_2 = 1 F, E = 15 V として，電流 i(t) (t>0)i(t)\ (t > 0) を求めよ．

(5) 問い (4) のパラメータを用いて，t>0t > 0 における，R1R_1 の抵抗値を持つ抵抗器で消費される全エネルギーを求めよ．

题目描述​

图 1 的电路在 t<0t<0 时开关 SW1 闭合、SW2 断开，并已达到稳态。t=0t=0 时切换为 SW1 断开、SW2 闭合。电压、电流方向按图定义，且 v2(0−)=0v_2(0^-)=0；R1,R2,C1,C2,ER_1,R_2,C_1,C_2,E 均为正实常数。

  1. 求切换前瞬间 t=0−t=0^- 的 i(t)i(t) 与 v1(t)v_1(t)。
  2. 利用电容电压连续性，求切换后瞬间 t=0+t=0^+ 的 i(t)i(t) 与 v1(t)v_1(t)。
  3. 求 t>0t>0 时电流 i(t)i(t) 的 Laplace 变换 I(s)I(s)。
  4. 当 R1=3 Ω,R2=2 Ω,C1=C2=1 F,E=15 VR_1=3\,\Omega,\quad R_2=2\,\Omega,\quad C_1=C_2=1\,\mathrm F,\quad E=15\,\mathrm V 时，求 t>0t>0 的 i(t)i(t)。
  5. 使用第 4 问参数，求 t>0t>0 内阻值为 R1R_1 的电阻消耗的总能量。

考点​

  • 开关电路初始条件：分析直流稳态并使用电容电压不能突变。
  • RC 网络的 Laplace 域分析：用 1/(sC)1/(sC) 表示电容并求等效阻抗。
  • 部分分式与反变换：把电流写成多个指数衰减项。
  • 电阻耗能：计算 ∫0∞R1i2(t) dt\int_0^\infty R_1i^2(t)\,dt。

Kai​

(1)​

i(0−)=ER1+R2i(0^-) = \frac{E}{R_1 + R_2}
v1(0−)=Ev_1(0^-) = E

(2)​

i(0+)=ER1i(0^+) = \frac{E}{R_1}
v1(0+)=v1(0−)=Ev_1(0^+) = v_1(0^-) = E

(3)​

I(s)=E/s1sC1+R1+R2/sC2R2+1/(sC2)I(s) = \frac{E/s}{\frac{1}{sC_1} + R_1 + \frac{R_2 / sC_2}{R_2 + 1/(sC_2)}}

(4)​

I(s)=15/s1s+3+2/s2+1/s=151+3s+s22s+1=15(2s+1)(3s+1)(2s+1)+2s=30s+156s2+7s+1=30s+15(6s+1)(s+1)=5s+2.5(s+16)(s+1)=2s+16+3s+1\begin{aligned} I(s) &= \frac{15/s}{\frac{1}{s} + 3 + \frac{2/s}{2 + 1/s}} \\ &= \frac{15}{1+3s+s\frac{2}{2s+1}} \\ &= \frac{15(2s+1)}{(3s+1)(2s+1) + 2s} \\ &= \frac{30s+15}{6s^2+7s+1} \\ &= \frac{30s + 15}{(6s+1)(s+1)} \\ &= \frac{5s+2.5}{(s+\frac{1}{6})(s+1)} \\ &= \frac{2}{s+\frac{1}{6}} + \frac{3}{s+1} \end{aligned}

よって、

i(t)=(2e−16+3e−t)u(t)i(t) = (2e^{-\frac{1}{6}} + 3e^{-t})u(t)

(5)​

W=∫0+∞i2(t)R1dt=3∫0+∞(4e−13t+9e−2t+12e−76t)dt=3⋅(12+92+727)=112514\begin{aligned} W &= \int_0^{+\infty} i^2(t) R_1 dt = 3\int_0^{+\infty} (4e^{-\frac{1}{3}t} + 9e^{-2t} + 12e^{-\frac{7}{6}t}) dt \\ &= 3 \cdot (12 + \frac{9}{2} + \frac{72}{7}) = \frac{1125}{14} \end{aligned}
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