大阪大学工学研究科電気電子情報工学専攻 2019年8月実施基礎科目数学3

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Miyake, 祭音Myyura

原文题干缺失。根据现有解答，令 $r>0,m>0$ ，考虑复函数

f(z)=\frac{ze^{irz}}{z^2+m^2}

以及由实轴线段 $C_1$ 和上半平面半圆弧 $C_2$ 构成的闭合围道。

求 $f$ 的全部一阶极点及相应留数。
用留数定理求 $\int_{C_1+C_2}f(z)\,dz$ 。
证明当半圆半径 $R\to\infty$ 时，弧线积分 $\int_{C_2}f(z)\,dz\to0$ 。
由此计算实积分

$\int_0^\infty\frac{2k\sin(rk)}{k^2+m^2}\,dk.$

当前解答末尾将部分参数写成了特殊值，应以一般的 $r,m$ 表达式为准。

\begin{aligned} f(z) = \frac{z e^{irz}}{z^2 + m^2} = \frac{z e^{irz}}{(z+im)(z-im)} \end{aligned}

であるから、 $z=im,-im$ が1位の極であり、それぞれにおける留数は、

\begin{aligned} \lim_{z \to im} (z-im) f(z) = \frac{1}{2} e^{-rm} , \ \ \lim_{z \to -im} (z+im) f(z) = \frac{1}{2} e^{rm} \end{aligned}

である。

$R>m$ とすると、留数定理より、

\begin{aligned} \int_{C_1+C_2} f(z) dz = 2 \pi i \cdot \frac{1}{2} e^{-rm} = i \pi e^{-rm} \end{aligned}

である。

$C_2$ 上の $z$ は $z=Re^{i \theta} \ \ (0 \leq \theta \leq \pi)$ と書け、 $dz = iRe^{i \theta} d \theta$ なので、

\begin{aligned} \int_{C_2} f(z) dz &= \int_0^\pi \frac{R e^{i \theta} e^{irR \exp(i \theta)}}{R^2 e^{2i \theta} + m^2} \cdot iR e^{i \theta} d \theta \\ &= i \int_0^\pi \frac{ e^{-rR \sin \theta} e^{irR \cos \theta} }{ 1 + \frac{m^2}{R^2} e^{- 2i \theta} } d \theta \end{aligned}

であり、

\begin{aligned} \left| \int_{C_2} f(z) dz \right| &\leq \int_{C_2} \left| f(z) \right| \left| dz \right| \\ &\leq 2\int_0^\pi e^{-rR\sin\theta}\,d\theta \\ &\to 0 \ \ (R \to \infty). \end{aligned}

ただし、 $R>\sqrt{2}m$ では分母の絶対値が $1-m^2/R^2>1/2$ であり、最後の極限は優収束定理による。

(b), ((c)) より、

\begin{aligned} \lim_{R \to \infty} \int_{C_1} f(z) dz = i \pi e^{-rm} \end{aligned}

である。したがって、

\begin{aligned} \int_{- \infty}^\infty \frac{k e^{irk}}{k^2+m^2} dk = i \pi e^{-rm} \end{aligned}

となり、これの両辺の虚部を考えると、

\begin{aligned} \int_{- \infty}^\infty \frac{k \sin(rk)}{k^2+m^2} dk = \pi e^{-rm} \end{aligned}

したがって、

\begin{aligned} \int_0^\infty \frac{2k \sin(rk)}{k^2+m^2} dk = \pi e^{-rm} \end{aligned}

を得る。