大阪大学 工学研究科 電気電子情報工学専攻 2019年8月実施 基礎科目 数学3

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Author

Miyake

Description

题目描述

原文题干缺失。根据现有解答，令 $r>0,m>0$，考虑复函数

$$f(z)=\frac{ze^{irz}}{z^2+m^2}$$

以及由实轴线段 $C_1$ 和上半平面半圆弧 $C_2$ 构成的闭合围道。

1. 求 $f$ 的全部一阶极点及相应留数。
2. 用留数定理求 $\int_{C_1+C_2}f(z)\,dz$。
3. 证明当半圆半径 $R\to\infty$ 时，弧线积分 $\int_{C_2}f(z)\,dz\to0$。
4. 由此计算实积分
   $$\int_0^\infty\frac{2k\sin(rk)}{k^2+m^2}\,dk.$$
   当前解答末尾将部分参数写成了特殊值，应以一般的 $r,m$ 表达式为准。

考点

• 复函数极点与留数：分解分母并计算简单极点留数。
• 留数定理：选择上半平面围道以利用 $e^{irz}$ 的衰减。
• Jordan 型估计：控制大半圆弧上的指数因子和有理函数。
• 实积分求值：取复指数积分的虚部并利用被积函数奇偶性。

Kai

(a)

$$\begin{aligned} f(z) = \frac{z e^{irz}}{z^2 + m^2} = \frac{z e^{irz}}{(z+im)(z-im)} \end{aligned}$$

であるから、 $z=im,-im$ が1位の極であり、それぞれにおける留数は、

$$\begin{aligned} \lim_{z \to im} (z-im) f(z) = \frac{1}{2} e^{-rm} , \ \ \lim_{z \to -im} (z+im) f(z) = \frac{1}{2} e^{rm} \end{aligned}$$

である。

(b)

留数定理より、

$$\begin{aligned} \int_{C_1+C_2} f(z) dz = 2 \pi i \cdot \frac{1}{2} e^{-rm} = i \pi e^{-rm} \end{aligned}$$

である。

((c))

$C_2$ 上の $z$ は $z=Re^{i \theta} \ \ (0 \leq \theta \leq \pi)$ と書け、 $dz = iRe^{i \theta} d \theta$ なので、

$$\begin{aligned} \int_{C_2} f(z) dz &= \int_0^\pi \frac{R e^{i \theta} e^{irR \exp(i \theta)}}{R^2 e^{2i \theta} + m^2} \cdot iR e^{i \theta} d \theta \\ &= i \int_0^\pi \frac{ e^{-rR \sin \theta} e^{irR \cos \theta} }{ 1 + \frac{m^2}{R^2} e^{- 2i \theta} } d \theta \end{aligned}$$

であり、

$$\begin{aligned} \left| \int_{C_2} f(z) dz \right| &\leq \int_{C_2} \left| f(z) \right| \left| dz \right| \\ &= \int_0^\pi \left| \frac{ e^{-rR \sin \theta} e^{irR \cos \theta} }{ 1 + \frac{m^2}{R^2} e^{- 2i \theta} } \right| d \theta \\ &\to 0 \ \ (R \to 0) \end{aligned}$$

である。

(d)

(b), ((c)) より、

$$\begin{aligned} \lim_{R \to \infty} \int_{C_1} f(z) dz = i \pi e^{-rm} \end{aligned}$$

であるが、 $m=1$ とすると、

$$\begin{aligned} \int_{- \infty}^\infty \frac{k e^{ik}}{k^2+1} dk = i \pi e^{-r} \end{aligned}$$

となり、これの両辺の虚部を考えると、

$$\begin{aligned} \int_{- \infty}^\infty \frac{k \sin k}{k^2+1} dk = \pi e^{-r} \end{aligned}$$

したがって、

$$\begin{aligned} \int_0^\infty \frac{2k \sin k}{k^2+1} dk = \pi e^{-r} \end{aligned}$$

を得る。