大阪大学 工学研究科 電気電子情報工学専攻 2019年8月実施 基礎科目 数学3

标签：

• 大阪大学
• 留数定理
• 用留数计算实积分

Author

Miyake, 祭音Myyura

Description

次式で定義される複素関数 $f(z)$ に関する以下の設問 (a)〜(d) に答えよ。ただし、$m,r$ は正の実数とする。

$$f(z)=\frac{ze^{irz}}{z^2+m^2}.$$

(a) $f(z)$ のすべての極における留数を求めよ。

(b) 図1に示した積分路 $C_1,C_2$ に関する関数 $f(z)$ の周回積分

$$\oint_{C_1+C_2}f(z)\,dz$$

を求めよ。ただし $R>m$ とする。

(c) 積分路 $C_2$ に関する経路積分について

$$\lim_{R\to\infty}\int_{C_2}f(z)\,dz=0$$

が成り立つことを示せ。

(d) 設問 (b)、(c) の結果を用いて次の実積分を求めよ。

$$\int_0^\infty\frac{2k}{k^2+1}\sin k\,dk.$$

题目描述

对由下式定义的复函数 $f(z)$，回答以下问题(a)～(d)。其中 $m,r$ 为正实数。

$$f(z)=\frac{ze^{irz}}{z^2+m^2}.$$

(a) 求 $f(z)$ 在所有极点处的留数。

(b) 求函数 $f(z)$ 沿图1所示积分路径 $C_1,C_2$ 的闭合积分

$$\oint_{C_1+C_2}f(z)\,dz.$$

其中 $R>m$。图1中，$C_1$ 为 $x$ 轴上的路径，沿实轴从 $-R$ 到 $R$；$C_2$ 为沿半径 $R$ 的上半圆弧从 $R$ 回到 $-R$ 的路径。

(c) 对函数 $f(z)$ 沿路径 $C_2$ 的积分，证明

$$\lim_{R\to\infty}\int_{C_2}f(z)\,dz=0.$$

(d) 利用问题(b)和(c)的结果求下列实积分：

$$\int_0^\infty\frac{2k}{k^2+1}\sin k\,dk.$$

Kai

(a)

$$\begin{aligned} f(z) = \frac{z e^{irz}}{z^2 + m^2} = \frac{z e^{irz}}{(z+im)(z-im)} \end{aligned}$$

であるから、 $z=im,-im$ が1位の極であり、それぞれにおける留数は、

$$\begin{aligned} \lim_{z \to im} (z-im) f(z) = \frac{1}{2} e^{-rm} , \ \ \lim_{z \to -im} (z+im) f(z) = \frac{1}{2} e^{rm} \end{aligned}$$

である。

(b)

$R>m$ とすると、留数定理より、

$$\begin{aligned} \int_{C_1+C_2} f(z) dz = 2 \pi i \cdot \frac{1}{2} e^{-rm} = i \pi e^{-rm} \end{aligned}$$

である。

(c)

$C_2$ 上の $z$ は $z=Re^{i \theta} \ \ (0 \leq \theta \leq \pi)$ と書け、 $dz = iRe^{i \theta} d \theta$ なので、

$$\begin{aligned} \int_{C_2} f(z) dz &= \int_0^\pi \frac{R e^{i \theta} e^{irR \exp(i \theta)}}{R^2 e^{2i \theta} + m^2} \cdot iR e^{i \theta} d \theta \\ &= i \int_0^\pi \frac{ e^{-rR \sin \theta} e^{irR \cos \theta} }{ 1 + \frac{m^2}{R^2} e^{- 2i \theta} } d \theta \end{aligned}$$

であり、

$$\begin{aligned} \left| \int_{C_2} f(z) dz \right| &\leq \int_{C_2} \left| f(z) \right| \left| dz \right| \\ &\leq 2\int_0^\pi e^{-rR\sin\theta}\,d\theta \\ &\to 0 \ \ (R \to \infty). \end{aligned}$$

ただし、$R>\sqrt{2}m$ では分母の絶対値が $1-m^2/R^2>1/2$ であり、最後の極限は優収束定理による。

(d)

(b)、(c) より、

$$\begin{aligned} \lim_{R \to \infty} \int_{C_1} f(z) dz = i \pi e^{-rm} \end{aligned}$$

である。したがって、

$$\begin{aligned} \int_{- \infty}^\infty \frac{k e^{irk}}{k^2+m^2} dk = i \pi e^{-rm} \end{aligned}$$

となり、これの両辺の虚部を考えると、

$$\begin{aligned} \int_{- \infty}^\infty \frac{k \sin(rk)}{k^2+m^2} dk = \pi e^{-rm} \end{aligned}$$

したがって、

$$\begin{aligned} \int_0^\infty \frac{2k \sin(rk)}{k^2+m^2} dk = \pi e^{-rm} \end{aligned}$$

を得る。

求める積分では $m=r=1$ なので、

$$\boxed{\int_0^\infty\frac{2k\sin k}{k^2+1}\,dk=\frac\pi e.}$$

Reference

• 大阪大学公式問題（PDF 4ページ）