大阪大学工学研究科電気電子情報工学専攻 2019年8月実施基礎科目数学1

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$t$ を実変数とし、 $(x,y)$ 平面におけるベクトル

\boldsymbol v(t)=\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix} =\exp(tA)\boldsymbol v(0)\tag{1}

に関し、 $A$ を2次元正方行列

A=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}

として、以下の設問 (a)〜(c) に答えよ。

(a) $A$ の固有値および固有ベクトルをすべて求めよ。

(b) 行列 $X$ の指数関数は

\exp(X)=\lim_{n\to\infty}\left(E+\frac Xn\right)^n

で与えられる。 $E+(t/n)A$ を対角化し、 $\exp(tA)$ を求めよ。ただし、 $n$ は正の整数、 $E$ は単位行列である。

实变量 $t$ 下，平面向量满足 $\boldsymbol v(t)=(x(t),y(t))^{\mathsf T}=e^{tA}\boldsymbol v(0)$ ，其中 $A=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ 。

(a) 求 $A$ 的所有特征值和特征向量。

(b) 利用矩阵指数的极限定义 $e^X=\lim_{n\to\infty}(E+X/n)^n$ ，将 $E+(t/n)A$ 对角化并求 $e^{tA}$ ； $E$ 为单位矩阵， $n$ 为正整数。

$A$ の固有値を $\lambda$ とすると、

\begin{aligned} 0 = \det \begin{pmatrix} - \lambda & 1 \\ 1 & - \lambda \end{pmatrix} = \lambda^2 - 1 = (\lambda + 1)(\lambda - 1) \end{aligned} \begin{aligned} \therefore \lambda = \pm 1 \end{aligned}

固有値 $\lambda = 1$ に属する固有ベクトルは、例えば、

\begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{aligned}

固有値 $\lambda = -1$ に属する固有ベクトルは、例えば、

\begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{aligned}

(a)で求めた固有ベクトルを使って、次のように定義する：

\begin{aligned} P = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \end{aligned}

このとき、次が成り立つ：

\begin{aligned} PP &= E \\ PAP &= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \end{aligned}

よって、

\begin{aligned} P \left( E + \frac{t}{n} A \right) P &= E + \frac{t}{n} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 1 + \frac{t}{n} & 0 \\ 0 & 1 - \frac{t}{n} \end{pmatrix} \end{aligned}

なので、

\begin{aligned} \exp (tA) &= \lim_{n \to \infty} \left( E + \frac{t}{n} A \right)^n \\ &= \lim_{n \to \infty} P \begin{pmatrix} 1 + \frac{t}{n} & 0 \\ 0 & 1 - \frac{t}{n} \end{pmatrix}^n P \\ &= \lim_{n \to \infty} P \begin{pmatrix} \left( 1 + \frac{t}{n} \right)^n & 0 \\ 0 & \left( 1 - \frac{t}{n} \right)^n \end{pmatrix} P \\ &= P \begin{pmatrix} e^t & 0 \\ 0 & e^{-t} \end{pmatrix} P \\ &= \frac{1}{2} \begin{pmatrix} e^t + e^{-t} & e^t - e^{-t} \\ e^t - e^{-t} & e^t + e^{-t} \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \cosh t & \sinh t \\ \sinh t & \cosh t \end{pmatrix} \end{aligned}

以下は本稿で補った解答である。 $u=x+y$ 、 $v=x-y$ とおくと、 $\dot{\boldsymbol v}=A\boldsymbol v$ より

\dot u=u,\qquad\dot v=-v.

従って $u(t)=u(0)e^t$ 、 $v(t)=v(0)e^{-t}$ であり、

\boxed{x^2-y^2=uv=u(0)v(0)=C}

が軌道を与える。 $C>0$ は左右に開く双曲線、 $C<0$ は上下に開く双曲線である。各初期値はその一方の枝を選ぶ。

$C=0$ では $y=x$ または $y=-x$ の半直線となる。時間が増すと $y=x$ 上では原点から遠ざかり、 $y=-x$ 上では原点に近づく。原点自体は静止解である。

曲線族と時間の増加方向