大阪大学工学研究科電気電子情報工学専攻 2019年8月実施基礎科目数学1

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$A$ の固有値を $\lambda$ とすると、

\begin{aligned} 0 = \det \begin{pmatrix} - \lambda & 1 \\ 1 & - \lambda \end{pmatrix} = \lambda^2 - 1 = (\lambda + 1)(\lambda - 1) \end{aligned} \begin{aligned} \therefore \lambda = \pm 1 \end{aligned}

固有値 $\lambda = 1$ に属する固有ベクトルは、例えば、

\begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{aligned}

固有値 $\lambda = -1$ に属する固有ベクトルは、例えば、

\begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{aligned}

(a)で求めた固有ベクトルを使って、次のように定義する：

\begin{aligned} P = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \end{aligned}

このとき、次が成り立つ：

\begin{aligned} PP &= E \\ PAP &= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \end{aligned}

よって、

\begin{aligned} P \left( E + \frac{t}{n} A \right) P &= E + \frac{t}{n} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 1 + \frac{t}{n} & 0 \\ 0 & 1 - \frac{t}{n} \end{pmatrix} \end{aligned}

なので、

\begin{aligned} \exp (tA) &= \lim_{n \to \infty} \left( E + \frac{t}{n} A \right)^n \\ &= \lim_{n \to \infty} P \begin{pmatrix} 1 + \frac{t}{n} & 0 \\ 0 & 1 - \frac{t}{n} \end{pmatrix}^n P \\ &= \lim_{n \to \infty} P \begin{pmatrix} \left( 1 + \frac{t}{n} \right)^n & 0 \\ 0 & \left( 1 - \frac{t}{n} \right)^n \end{pmatrix} P \\ &= P \begin{pmatrix} e^t & 0 \\ 0 & e^{-t} \end{pmatrix} P \\ &= \frac{1}{2} \begin{pmatrix} e^t + e^{-t} & e^t - e^{-t} \\ e^t - e^{-t} & e^t + e^{-t} \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \cosh t & \sinh t \\ \sinh t & \cosh t \end{pmatrix} \end{aligned}