大阪大学 工学研究科 電気電子情報工学専攻 2019年8月実施 基礎科目 電磁理論1 Author 祭音Myyura (Based on Miyake's answer refined with GPT 6 Astra)
Description ①〜㉕に対応する数式、数値、語句を答えよ。ただし⑭、㉔は適切な語句の記号を選び、㉓はグラフを描け。
[1]
真空中の電界 E \boldsymbol E E H \boldsymbol H H J \boldsymbol J J ρ \rho ρ ε 0 \varepsilon_0 ε 0 μ 0 \mu_0 μ 0
電束に関するガウスの法則：①。
磁束に関するガウスの法則：②。
ファラデー・マクスウェルの法則：③。
アンペア・マクスウェルの法則：④。
[2]
真空中の領域1と領域2の間の不連続境界面を S S S S S S E 1 , E 2 , H 1 , H 2 \boldsymbol E_1,\boldsymbol E_2,\boldsymbol H_1,\boldsymbol H_2 E 1 , E 2 , H 1 , H 2 S S S n \boldsymbol n n S S S K , ξ \boldsymbol K,\xi K , ξ
E に対する境界条件： ⑤ , H に対する境界条件： ⑥ \boldsymbol E\text{ に対する境界条件：}\boxed{⑤},\qquad
\boldsymbol H\text{ に対する境界条件：}\boxed{⑥} E に対する境界条件： ⑤ , H に対する境界条件： ⑥ となる。
[3]
円柱状の定常電流による磁界を求める。円柱座標系 ( r , φ , z ) (r,\varphi,z) ( r , φ , z ) i r , i φ , i z \boldsymbol i_r,\boldsymbol i_\varphi,\boldsymbol i_z i r , i φ , i z H r , H φ , H z H_r,H_\varphi,H_z H r , H φ , H z
1 ⑦ ∣ i r ⑦ i φ i z ∂ r ∂ φ ∂ z H r ⑦ H φ H z ∣ = i r ( 1 ⑦ ∂ H z ∂ φ − ∂ H φ ∂ z ) + i φ ( ∂ H r ∂ z + ⑧ ) + i z ( ⑨ − 1 ⑦ ∂ H r ∂ φ ) \frac1{\boxed{⑦}}
\begin{vmatrix}
\boldsymbol i_r&\boxed{⑦}\boldsymbol i_\varphi&\boldsymbol i_z\\
\partial_r&\partial_\varphi&\partial_z\\
H_r&\boxed{⑦}H_\varphi&H_z
\end{vmatrix}
=\boldsymbol i_r\left(\frac1{\boxed{⑦}}\frac{\partial H_z}{\partial\varphi}
-\frac{\partial H_\varphi}{\partial z}\right)
+\boldsymbol i_\varphi\left(\frac{\partial H_r}{\partial z}+\boxed{⑧}\right)
+\boldsymbol i_z\left(\boxed{⑨}-\frac1{\boxed{⑦}}\frac{\partial H_r}{\partial\varphi}\right) ⑦ 1 i r ∂ r H r ⑦ i φ ∂ φ ⑦ H φ i z ∂ z H z = i r ( ⑦ 1 ∂ φ ∂ H z − ∂ z ∂ H φ ) + i φ ( ∂ z ∂ H r + ⑧ ) + i z ( ⑨ − ⑦ 1 ∂ φ ∂ H r ) となる。
まず、z z z a a a z z z J = i z J 0 \boldsymbol J=\boldsymbol i_zJ_0 J = i z J 0 J 0 > 0 J_0>0 J 0 > 0
⑨ = { ⑫ r < a , ⑬ r > a . \boxed{⑨}=\begin{cases}\boxed{⑫}&ra.\end{cases} ⑨ = { ⑫ ⑬ r < a , r > a . 境界 r = a r=a r = a K = 0 \boldsymbol K=0 K = 0 H z H_z H z r = 0 r=0 r = 0
⑮ = { ⑯ r < a , ⑰ r ≥ a . \boxed{⑮}=\begin{cases}\boxed{⑯}&r ⑮ = { ⑯ ⑰ r < a , r ≥ a . さらに、円柱内 0 < r < a 0<r<a 0 < r < a i φ J 1 \boldsymbol i_\varphi J_1 i φ J 1 J 1 > 0 J_1>0 J 1 > 0 z z z
⑧ = { ⑳ r < a , ⑬ r > a . \boxed{⑧}=\begin{cases}\boxed{⑳}&ra.\end{cases} ⑧ = { ⑳ ⑬ r < a , r > a . r = a r=a r = a H φ H_\varphi H φ r → ∞ r\to\infty r → ∞
㉑ = { ㉒ r < a , ⑬ r ≥ a . \boxed{㉑}=\begin{cases}\boxed{㉒}&r ㉑ = { ㉒ ⑬ r < a , r ≥ a . 磁界成分比㉑/⑮の分布を横軸 r r r z z z z z z z z z r = 0 r=0 r = 0 r = a r=a r = a r < a r<a r < a r ≥ a r\ge a r ≥ a
题目描述
填写①〜㉕；⑭与㉔选相应选项，㉓画图。
[1] 写出真空中关于 E , H \boldsymbol E,\boldsymbol H E , H J , ρ , ε 0 , μ 0 \boldsymbol J,\rho,\varepsilon_0,\mu_0 J , ρ , ε 0 , μ 0
[2] 真空中两区域以曲面 S S S n \boldsymbol n n ξ , K \xi,\boldsymbol K ξ , K
[3] 使用柱坐标 ( r , φ , z ) (r,\varphi,z) ( r , φ , z ) a a a i z J 0 \boldsymbol i_zJ_0 i z J 0 J 0 > 0 J_0>0 J 0 > 0
再在圆柱内部 0 < r < a 0<r<a 0 < r < a z z z i φ J 1 \boldsymbol i_\varphi J_1 i φ J 1 J 1 > 0 J_1>0 J 1 > 0 r r r
Kai [1] マクスウェル方程式
真空中では D = ε 0 E \boldsymbol D=\varepsilon_0\boldsymbol E D = ε 0 E B = μ 0 H \boldsymbol B=\mu_0\boldsymbol H B = μ 0 H
① : ∇ ⋅ E = ρ ε 0 , ② : ∇ ⋅ H = 0 , \boxed{①:\ \nabla\cdot\boldsymbol E=\frac{\rho}{\varepsilon_0}},\qquad
\boxed{②:\ \nabla\cdot\boldsymbol H=0}, ① : ∇ ⋅ E = ε 0 ρ , ② : ∇ ⋅ H = 0 , ③ : ∇ × E = − μ 0 ∂ H ∂ t , ④ : ∇ × H = J + ε 0 ∂ E ∂ t . \boxed{③:\ \nabla\times\boldsymbol E=-\mu_0\frac{\partial\boldsymbol H}{\partial t}},\qquad
\boxed{④:\ \nabla\times\boldsymbol H=\boldsymbol J+\varepsilon_0\frac{\partial\boldsymbol E}{\partial t}}. ③ : ∇ × E = − μ 0 ∂ t ∂ H , ④ : ∇ × H = J + ε 0 ∂ t ∂ E . [2] 境界条件
界面を挟む薄い円柱にガウスの法則を適用すると
⑤ : n ⋅ ( E 1 − E 2 ) = ξ ε 0 . \boxed{⑤:\ \boldsymbol n\cdot(\boldsymbol E_1-\boldsymbol E_2)=\frac{\xi}{\varepsilon_0}}. ⑤ : n ⋅ ( E 1 − E 2 ) = ε 0 ξ . 界面を横切る微小な長方形にアンペア・マクスウェルの法則を適用すると
⑥ : n × ( H 1 − H 2 ) = K . \boxed{⑥:\ \boldsymbol n\times(\boldsymbol H_1-\boldsymbol H_2)=\boldsymbol K}. ⑥ : n × ( H 1 − H 2 ) = K . ここでは法線の向きが領域2から領域1であることに注意する。
[3] 円柱状の電流による磁界
⑦〜⑨：円柱座標での回転
⑦ : r , ⑧ : − ∂ H z ∂ r , ⑨ : 1 r ∂ ( r H φ ) ∂ r . \boxed{⑦:r},\qquad
\boxed{⑧:-\frac{\partial H_z}{\partial r}},\qquad
\boxed{⑨:\frac1r\frac{\partial(rH_\varphi)}{\partial r}}. ⑦ : r , ⑧ : − ∂ r ∂ H z , ⑨ : r 1 ∂ r ∂ ( r H φ ) . ⑩〜⑰：軸方向電流
定常場なので変位電流は0であり、∇ × H = J \nabla\times\boldsymbol H=\boldsymbol J ∇ × H = J
⑩ : z , ⑪ : φ , ⑫ : J 0 , ⑬ : 0 . \boxed{⑩:z},\qquad\boxed{⑪:\varphi},\qquad
\boxed{⑫:J_0},\qquad\boxed{⑬:0}. ⑩ : z , ⑪ : φ , ⑫ : J 0 , ⑬ : 0 . ⑥で K = 0 \boldsymbol K=0 K = 0
⑭ : ロ（接線） , ⑮ : H φ . \boxed{⑭:\text{ロ（接線）}},\qquad\boxed{⑮:H_\varphi}. ⑭ : ロ（接線） , ⑮ : H φ . 内部では ( r H φ ) ′ = J 0 r (rH_\varphi)'=J_0r ( r H φ ) ′ = J 0 r H φ = J 0 r / 2 + C / r H_\varphi=J_0r/2+C/r H φ = J 0 r /2 + C / r C = 0 C=0 C = 0 ( r H φ ) ′ = 0 (rH_\varphi)'=0 ( r H φ ) ′ = 0 H φ = C o u t / r H_\varphi=C_{\mathrm{out}}/r H φ = C out / r r = a r=a r = a C o u t = J 0 a 2 / 2 C_{\mathrm{out}}=J_0a^2/2 C out = J 0 a 2 /2
⑯ : J 0 r 2 , ⑰ : J 0 a 2 2 r . \boxed{⑯:\frac{J_0r}{2}},\qquad
\boxed{⑰:\frac{J_0a^2}{2r}}. ⑯ : 2 J 0 r , ⑰ : 2 r J 0 a 2 . これはアンペアの周回積分 2 π r H φ = J 0 π min ( r 2 , a 2 ) 2\pi rH_\varphi=J_0\pi\min(r^2,a^2) 2 π r H φ = J 0 π min ( r 2 , a 2 )
⑱〜㉒：円周方向電流
追加電流の方向が φ \varphi φ z z z
⑱ : φ , ⑲ : z , ⑳ : J 1 , ㉑ : H z . \boxed{⑱:\varphi},\qquad\boxed{⑲:z},\qquad
\boxed{⑳:J_1},\qquad\boxed{㉑:H_z}. ⑱ : φ , ⑲ : z , ⑳ : J 1 , ㉑ : H z . − d H z / d r = J 1 -dH_z/dr=J_1 − d H z / d r = J 1 H z = − J 1 r + C 1 H_z=-J_1r+C_1 H z = − J 1 r + C 1 r = a r=a r = a C 1 = J 1 a C_1=J_1a C 1 = J 1 a
㉒ : J 1 ( a − r ) . \boxed{㉒:J_1(a-r)}. ㉒ : J 1 ( a − r ) . ㉓〜㉕：成分比とピッチ
以上より
H z H φ = { 2 J 1 J 0 ( a r − 1 ) , 0 < r < a , 0 , r ≥ a . \boxed{\frac{H_z}{H_\varphi}=
\begin{cases}
\displaystyle\frac{2J_1}{J_0}\left(\frac ar-1\right),&0<r<a,\\
0,&r\ge a.
\end{cases}} H φ H z = ⎩ ⎨ ⎧ J 0 2 J 1 ( r a − 1 ) , 0 , 0 < r < a , r ≥ a . ㉓のグラフは次のようになる。r → 0 + r\to0^+ r → 0 + + ∞ +\infty + ∞ r = a r=a r = a
磁気力線上では d z / ( r d φ ) = H z / H φ dz/(r\,d\varphi)=H_z/H_\varphi d z / ( r d φ ) = H z / H φ p ( r ) p(r) p ( r )
p ( r ) = 2 π r H z H φ = { 4 π J 1 J 0 ( a − r ) , 0 < r < a , 0 , r ≥ a . p(r)=2\pi r\frac{H_z}{H_\varphi}
=\begin{cases}
\displaystyle\frac{4\pi J_1}{J_0}(a-r),&0<r<a,\\
0,&r\ge a.
\end{cases} p ( r ) = 2 π r H φ H z = ⎩ ⎨ ⎧ J 0 4 π J 1 ( a − r ) , 0 , 0 < r < a , r ≥ a . 内部のピッチは r r r
㉔ : ロ（長） , ㉕ : 0 . \boxed{㉔:\text{ロ（長）}},\qquad\boxed{㉕:0}. ㉔ : ロ（長） , ㉕ : 0 . 成分比は軸に近づくと発散するが、ピッチの極限は 4 π J 1 a / J 0 4\pi J_1a/J_0 4 π J 1 a / J 0 r → 0 + r\to0^+ r → 0 +
Reference 