大阪大学 工学研究科 電気電子情報工学専攻 2019年8月実施 基礎科目 電磁理論1 Author 祭音Myyura (Based on Miyake's answer refined with GPT 6 Astra)
Description ①〜㉕に対応する数式、数値、語句を答えよ。ただし⑭、㉔は適切な語句の記号を選び、㉓はグラフを描け。
[1]
真空中の電界 E \boldsymbol E E H \boldsymbol H H J \boldsymbol J J ρ \rho ρ ε 0 \varepsilon_0 ε 0 μ 0 \mu_0 μ 0
電束に関するガウスの法則：① \boxed{①} ①
磁束に関するガウスの法則：② \boxed{②} ②
ファラデー・マクスウェルの法則：③ \boxed{③} ③
アンペア・マクスウェルの法則：④ \boxed{④} ④
[2]
真空中の領域1と領域2の間の不連続境界面を S S S S S S E 1 , E 2 , H 1 , H 2 \boldsymbol E_1,\boldsymbol E_2,\boldsymbol H_1,\boldsymbol H_2 E 1 , E 2 , H 1 , H 2 S S S n \boldsymbol n n S S S K , ξ \boldsymbol K,\xi K , ξ
E に対する境界条件： ⑤ , (5) \boldsymbol E\text{ に対する境界条件：}\boxed{⑤},\tag{5} E に対する境界条件： ⑤ , ( 5 ) H に対する境界条件： ⑥ (6) \boldsymbol H\text{ に対する境界条件：}\boxed{⑥}\tag{6} H に対する境界条件： ⑥ ( 6 ) となる。
[3]
円柱状の定常電流による磁界を求める。円柱座標系 ( r , φ , z ) (r,\varphi,z) ( r , φ , z ) i r , i φ , i z \boldsymbol i_r,\boldsymbol i_\varphi,\boldsymbol i_z i r , i φ , i z H r , H φ , H z H_r,H_\varphi,H_z H r , H φ , H z
1 ⑦ ∣ i r ⑦ i φ i z ∂ r ∂ φ ∂ z H r ⑦ H φ H z ∣ = i r ( 1 ⑦ ∂ H z ∂ φ − ∂ H φ ∂ z ) + i φ ( ∂ H r ∂ z + ⑧ ) + i z ( ⑨ − 1 ⑦ ∂ H r ∂ φ ) (7) \begin{aligned}
&\frac1{\boxed{⑦}}
\begin{vmatrix}
\boldsymbol i_r&\boxed{⑦}\boldsymbol i_\varphi&\boldsymbol i_z\\
\partial_r&\partial_\varphi&\partial_z\\
H_r&\boxed{⑦}H_\varphi&H_z
\end{vmatrix}\\
&=\boldsymbol i_r\left(\frac1{\boxed{⑦}}\frac{\partial H_z}{\partial\varphi}
-\frac{\partial H_\varphi}{\partial z}\right)\\
&\quad+\boldsymbol i_\varphi\left(\frac{\partial H_r}{\partial z}+\boxed{⑧}\right)\\
&\quad+\boldsymbol i_z\left(\boxed{⑨}-\frac1{\boxed{⑦}}\frac{\partial H_r}{\partial\varphi}\right)
\end{aligned}\tag{7} ⑦ 1 i r ∂ r H r ⑦ i φ ∂ φ ⑦ H φ i z ∂ z H z = i r ( ⑦ 1 ∂ φ ∂ H z − ∂ z ∂ H φ ) + i φ ( ∂ z ∂ H r + ⑧ ) + i z ( ⑨ − ⑦ 1 ∂ φ ∂ H r ) ( 7 ) となる。
まず、z z z a a a z z z J = i z J 0 \boldsymbol J=\boldsymbol i_zJ_0 J = i z J 0 J 0 > 0 J_0>0 J 0 > 0
⑨ = { ⑫ r < a , ⑬ r > a . (8) \boxed{⑨}=\begin{cases}\boxed{⑫}&ra.\end{cases}\tag{8} ⑨ = { ⑫ ⑬ r < a , r > a . ( 8 ) 境界 r = a r=a r = a K = 0 \boldsymbol K=0 K = 0 H z H_z H z r = 0 r=0 r = 0
⑮ = { ⑯ r < a , ⑰ r ≥ a . (9) \boxed{⑮}=\begin{cases}\boxed{⑯}&r ⑮ = { ⑯ ⑰ r < a , r ≥ a . ( 9 ) さらに、円柱内 0 < r < a 0<r<a 0 < r < a i φ J 1 \boldsymbol i_\varphi J_1 i φ J 1 J 1 > 0 J_1>0 J 1 > 0 z z z
⑧ = { ⑳ r < a , ⑬ r > a . (10) \boxed{⑧}=\begin{cases}\boxed{⑳}&ra.\end{cases}\tag{10} ⑧ = { ⑳ ⑬ r < a , r > a . ( 10 ) r = a r=a r = a H φ H_\varphi H φ r → ∞ r\to\infty r → ∞
㉑ = { ㉒ r < a , ⑬ r ≥ a . (11) \boxed{㉑}=\begin{cases}\boxed{㉒}&r ㉑ = { ㉒ ⑬ r < a , r ≥ a . ( 11 ) 磁界成分比㉑/⑮の分布を横軸 r r r z z z z z z z z z r = 0 r=0 r = 0 r = a r=a r = a r < a r<a r < a r ≥ a r\ge a r ≥ a
题目描述
在答题纸上写出①～㉕的编号，填入以下文字空白处所需的数学式、数值或词语。其中⑭、㉔选择合适词语并写出其选项符号，㉓作图。
[1] 真空中电场 E \boldsymbol E E H \boldsymbol H H J \boldsymbol J J ρ \rho ρ ε 0 \varepsilon_0 ε 0 μ 0 \mu_0 μ 0
关于电通量的高斯定律：① \boxed{①} ①
关于磁通量的高斯定律：② \boxed{②} ②
法拉第–麦克斯韦定律：③ \boxed{③} ③
安培–麦克斯韦定律：④ \boxed{④} ④
[2] 考虑真空中的区域1和区域2，两者之间的不连续边界面记为 S S S S S S E 1 , E 2 , H 1 , H 2 \boldsymbol E_1,\boldsymbol E_2,\boldsymbol H_1,\boldsymbol H_2 E 1 , E 2 , H 1 , H 2 S S S n \boldsymbol n n S S S K , ξ \boldsymbol K,\xi K , ξ
电场 E 的边界条件： ⑤ , （5） \text{电场 }\boldsymbol E\text{ 的边界条件：}\boxed{⑤},\qquad\text{（5）} 电场 E 的边界条件： ⑤ , （ 5 ） 磁场 H 的边界条件： ⑥ . （6） \text{磁场 }\boldsymbol H\text{ 的边界条件：}\boxed{⑥}.\qquad\text{（6）} 磁场 H 的边界条件： ⑥ . （ 6 ） [3] 以下求圆柱状恒定电流产生的磁场。在柱坐标系 ( r , φ , z ) (r,\varphi,z) ( r , φ , z ) i r , i φ , i z \boldsymbol i_r,\boldsymbol i_\varphi,\boldsymbol i_z i r , i φ , i z H \boldsymbol H H H r , H φ , H z H_r,H_\varphi,H_z H r , H φ , H z
式(4)中的空间微分项 = 1 ⑦ ∣ i r ⑦ i φ i z ∂ r ∂ φ ∂ z H r ⑦ H φ H z ∣ = i r ( 1 ⑦ ∂ H z ∂ φ − ∂ H φ ∂ z ) + i φ ( ∂ H r ∂ z + ⑧ ) + i z ( ⑨ − 1 ⑦ ∂ H r ∂ φ ) . （7） \begin{aligned}
&\text{式(4)中的空间微分项}\\
&=\frac1{\boxed{⑦}}
\begin{vmatrix}
\boldsymbol i_r&\boxed{⑦}\boldsymbol i_\varphi&\boldsymbol i_z\\
\partial_r&\partial_\varphi&\partial_z\\
H_r&\boxed{⑦}H_\varphi&H_z
\end{vmatrix}\\
&=\boldsymbol i_r\left(\frac1{\boxed{⑦}}\frac{\partial H_z}{\partial\varphi}-\frac{\partial H_\varphi}{\partial z}\right)\\
&\quad+\boldsymbol i_\varphi\left(\frac{\partial H_r}{\partial z}+\boxed{⑧}\right)\\
&\quad+\boldsymbol i_z\left(\boxed{⑨}-\frac1{\boxed{⑦}}\frac{\partial H_r}{\partial\varphi}\right).
\end{aligned}\qquad\text{（7）} 式 (4) 中的空间微分项 = ⑦ 1 i r ∂ r H r ⑦ i φ ∂ φ ⑦ H φ i z ∂ z H z = i r ( ⑦ 1 ∂ φ ∂ H z − ∂ z ∂ H φ ) + i φ ( ∂ z ∂ H r + ⑧ ) + i z ( ⑨ − ⑦ 1 ∂ φ ∂ H r ) . （ 7 ） 首先考虑以 z z z a a a z z z J = i z J 0 \boldsymbol J=\boldsymbol i_zJ_0 J = i z J 0 J 0 > 0 J_0>0 J 0 > 0 ⑩ \boxed{⑩} ⑩ H \boldsymbol H H ⑪ \boxed{⑪} ⑪
⑨ = { ⑫ ( r < a ) , ⑬ ( r > a ) . （8） \boxed{⑨}=\begin{cases}\boxed{⑫}&(r<a),\\\boxed{⑬}&(r>a).\end{cases}\qquad\text{（8）} ⑨ = { ⑫ ⑬ ( r < a ) , ( r > a ) . （ 8 ） 在此电流分布的边界 r = a r=a r = a K = 0 \boldsymbol K=0 K = 0 H \boldsymbol H H ⑮ \boxed{⑮} ⑮ H z H_z H z r = 0 r=0 r = 0
⑮ = { ⑯ ( r < a ) , ⑰ ( r ≥ a ) . （9） \boxed{⑮}=\begin{cases}\boxed{⑯}&(r<a),\\\boxed{⑰}&(r\ge a).\end{cases}\qquad\text{（9）} ⑮ = { ⑯ ⑰ ( r < a ) , ( r ≥ a ) . （ 9 ） 在上述电流分布的基础上，进一步考虑圆柱内部 0 < r < a 0<r<a 0 < r < a φ \varphi φ z z z i φ J 1 \boldsymbol i_\varphi J_1 i φ J 1 J 1 > 0 J_1>0 J 1 > 0 ⑱ \boxed{⑱} ⑱ ⑲ \boxed{⑲} ⑲
⑧ = { ⑳ ( r < a ) , ⑬ ( r > a ) . （10） \boxed{⑧}=\begin{cases}\boxed{⑳}&(r<a),\\\boxed{⑬}&(r>a).\end{cases}\qquad\text{（10）} ⑧ = { ⑳ ⑬ ( r < a ) , ( r > a ) . （ 10 ） 在此电流分布的边界 r = a r=a r = a K = 0 \boldsymbol K=0 K = 0 ㉑ \boxed{㉑} ㉑ H φ H_\varphi H φ r → ∞ r\to\infty r → ∞
㉑ = { ㉒ ( r < a ) , ⑬ ( r ≥ a ) . （11） \boxed{㉑}=\begin{cases}\boxed{㉒}&(r<a),\\\boxed{⑬}&(r\ge a).\end{cases}\qquad\text{（11）} ㉑ = { ㉒ ⑬ ( r < a ) , ( r ≥ a ) . （ 11 ） 由式(9)和式(11)，以 r r r ㉑ / ⑮ \boxed{㉑}/\boxed{⑮} ㉑ / ⑮ ㉓ \boxed{㉓} ㉓ H \boldsymbol H H z z z z z z z z z r = 0 r=0 r = 0 r = a r=a r = a r < a r<a r < a r ≥ a r\ge a r ≥ a ㉕ \boxed{㉕} ㉕
Kai [1] マクスウェル方程式
真空中では D = ε 0 E \boldsymbol D=\varepsilon_0\boldsymbol E D = ε 0 E B = μ 0 H \boldsymbol B=\mu_0\boldsymbol H B = μ 0 H
① : ∇ ⋅ E = ρ ε 0 , ② : ∇ ⋅ H = 0 , \boxed{①:\ \nabla\cdot\boldsymbol E=\frac{\rho}{\varepsilon_0}},\qquad
\boxed{②:\ \nabla\cdot\boldsymbol H=0}, ① : ∇ ⋅ E = ε 0 ρ , ② : ∇ ⋅ H = 0 , ③ : ∇ × E = − μ 0 ∂ H ∂ t , \boxed{③:\ \nabla\times\boldsymbol E=-\mu_0\frac{\partial\boldsymbol H}{\partial t}}, ③ : ∇ × E = − μ 0 ∂ t ∂ H , ④ : ∇ × H = J + ε 0 ∂ E ∂ t . \boxed{④:\ \nabla\times\boldsymbol H=\boldsymbol J+\varepsilon_0\frac{\partial\boldsymbol E}{\partial t}}. ④ : ∇ × H = J + ε 0 ∂ t ∂ E . [2] 境界条件
界面を挟む薄い円柱にガウスの法則を適用すると
⑤ : n ⋅ ( E 1 − E 2 ) = ξ ε 0 . \boxed{⑤:\ \boldsymbol n\cdot(\boldsymbol E_1-\boldsymbol E_2)=\frac{\xi}{\varepsilon_0}}. ⑤ : n ⋅ ( E 1 − E 2 ) = ε 0 ξ . 界面を横切る微小な長方形にアンペア・マクスウェルの法則を適用すると
⑥ : n × ( H 1 − H 2 ) = K . \boxed{⑥:\ \boldsymbol n\times(\boldsymbol H_1-\boldsymbol H_2)=\boldsymbol K}. ⑥ : n × ( H 1 − H 2 ) = K . ここでは法線の向きが領域2から領域1であることに注意する。
[3] 円柱状の電流による磁界
⑦〜⑨：円柱座標での回転
⑦ : r , ⑧ : − ∂ H z ∂ r , ⑨ : 1 r ∂ ( r H φ ) ∂ r . \boxed{⑦:r},\qquad
\boxed{⑧:-\frac{\partial H_z}{\partial r}},\qquad
\boxed{⑨:\frac1r\frac{\partial(rH_\varphi)}{\partial r}}. ⑦ : r , ⑧ : − ∂ r ∂ H z , ⑨ : r 1 ∂ r ∂ ( r H φ ) . ⑩〜⑰：軸方向電流
定常場なので変位電流は0であり、∇ × H = J \nabla\times\boldsymbol H=\boldsymbol J ∇ × H = J
⑩ : z , ⑪ : φ , ⑫ : J 0 , ⑬ : 0 . \boxed{⑩:z},\qquad\boxed{⑪:\varphi},\qquad
\boxed{⑫:J_0},\qquad\boxed{⑬:0}. ⑩ : z , ⑪ : φ , ⑫ : J 0 , ⑬ : 0 . ⑥で K = 0 \boldsymbol K=0 K = 0
⑭ : ロ（接線） , ⑮ : H φ . \boxed{⑭:\text{ロ（接線）}},\qquad\boxed{⑮:H_\varphi}. ⑭ : ロ（接線） , ⑮ : H φ . 内部では ( r H φ ) ′ = J 0 r (rH_\varphi)'=J_0r ( r H φ ) ′ = J 0 r H φ = J 0 r / 2 + C / r H_\varphi=J_0r/2+C/r H φ = J 0 r /2 + C / r C = 0 C=0 C = 0 ( r H φ ) ′ = 0 (rH_\varphi)'=0 ( r H φ ) ′ = 0 H φ = C o u t / r H_\varphi=C_{\mathrm{out}}/r H φ = C out / r r = a r=a r = a C o u t = J 0 a 2 / 2 C_{\mathrm{out}}=J_0a^2/2 C out = J 0 a 2 /2
⑯ : J 0 r 2 , ⑰ : J 0 a 2 2 r . \boxed{⑯:\frac{J_0r}{2}},\qquad
\boxed{⑰:\frac{J_0a^2}{2r}}. ⑯ : 2 J 0 r , ⑰ : 2 r J 0 a 2 . これはアンペアの周回積分 2 π r H φ = J 0 π min ( r 2 , a 2 ) 2\pi rH_\varphi=J_0\pi\min(r^2,a^2) 2 π r H φ = J 0 π min ( r 2 , a 2 )
⑱〜㉒：円周方向電流
追加電流の方向が φ \varphi φ z z z
⑱ : φ , ⑲ : z , ⑳ : J 1 , ㉑ : H z . \boxed{⑱:\varphi},\qquad\boxed{⑲:z},\qquad
\boxed{⑳:J_1},\qquad\boxed{㉑:H_z}. ⑱ : φ , ⑲ : z , ⑳ : J 1 , ㉑ : H z . − d H z / d r = J 1 -dH_z/dr=J_1 − d H z / d r = J 1 H z = − J 1 r + C 1 H_z=-J_1r+C_1 H z = − J 1 r + C 1 r = a r=a r = a C 1 = J 1 a C_1=J_1a C 1 = J 1 a
㉒ : J 1 ( a − r ) . \boxed{㉒:J_1(a-r)}. ㉒ : J 1 ( a − r ) . ㉓〜㉕：成分比とピッチ
以上より
H z H φ = { 2 J 1 J 0 ( a r − 1 ) , 0 < r < a , 0 , r ≥ a . \boxed{\frac{H_z}{H_\varphi}=
\begin{cases}
\displaystyle\frac{2J_1}{J_0}\left(\frac ar-1\right),&0<r<a,\\
0,&r\ge a.
\end{cases}} H φ H z = ⎩ ⎨ ⎧ J 0 2 J 1 ( r a − 1 ) , 0 , 0 < r < a , r ≥ a . ㉓のグラフは次のようになる。r → 0 + r\to0^+ r → 0 + + ∞ +\infty + ∞ r = a r=a r = a
磁気力線上では d z / ( r d φ ) = H z / H φ dz/(r\,d\varphi)=H_z/H_\varphi d z / ( r d φ ) = H z / H φ p ( r ) p(r) p ( r )
p ( r ) = 2 π r H z H φ = { 4 π J 1 J 0 ( a − r ) , 0 < r < a , 0 , r ≥ a . p(r)=2\pi r\frac{H_z}{H_\varphi}
=\begin{cases}
\displaystyle\frac{4\pi J_1}{J_0}(a-r),&0<r<a,\\
0,&r\ge a.
\end{cases} p ( r ) = 2 π r H φ H z = ⎩ ⎨ ⎧ J 0 4 π J 1 ( a − r ) , 0 , 0 < r < a , r ≥ a . 内部のピッチは r r r
㉔ : ロ（長） , ㉕ : 0 . \boxed{㉔:\text{ロ（長）}},\qquad\boxed{㉕:0}. ㉔ : ロ（長） , ㉕ : 0 . 成分比は軸に近づくと発散するが、ピッチの極限は 4 π J 1 a / J 0 4\pi J_1a/J_0 4 π J 1 a / J 0 r → 0 + r\to0^+ r → 0 +
Reference 