大阪大学情報科学研究科情報基礎数学専攻 2020年8月実施数学1-3

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\begin{aligned} \int_0^{2 \pi} \frac{\cos \theta}{2 + \cos \theta} d \theta &= 2 \int_0^\pi \frac{\cos \theta}{2 + \cos \theta} d \theta \\ &= 2 \int_0^\infty \frac{\frac{1-t^2}{1+t^2}}{2 + \frac{1-t^2}{1+t^2}} \frac{2 dt}{1 + t^2} \ \ \ \ \ \ \ \ \left( t = \tan \frac{\theta}{2} \right) \\ &= -4 \int_0^\infty \frac{t^2 - 1}{(t^2 + 3)(t^2 + 1)} dt \\ &= -4 \int_0^\infty \left( \frac{2}{t^2 + 3} - \frac{1}{t^2 + 1} \right) dt \\ &= -4 \left( \frac{\pi}{\sqrt{3}} - \frac{\pi}{2} \right) \\ &= - \frac{4 \pi}{\sqrt{3}} + 2 \pi \end{aligned}

まず、与えられた微分方程式に $y = A \sin x + B \cos x$ （ $A,B$ は $x$ によらない定数）を代入すると、

\begin{aligned} (2A+4B) \sin x + (-4A+2B) \cos x = \cos x \end{aligned}

となって、 $A=-1/5, B=1/10$ を得るので、

\begin{aligned} y = - \frac{1}{5} \sin x + \frac{1}{10} \cos x \end{aligned}

は特殊解である。

次に、

\begin{aligned} \frac{d^2y}{dx^2} - 4 \frac{dy}{dx} + 3y = 0 \end{aligned}

に $y = e^{\lambda x}$ （ $\lambda$ は $x$ によらない定数）を代入すると、

\begin{aligned} \lambda^2 - 4 \lambda + 3 &= 0 \\ (\lambda-1)(\lambda-3) &= 0 \\ \therefore \ \ \lambda &= 1, 3 \end{aligned}

を得るので、

\begin{aligned} y = C e^x + D e^{3x} \ \ \ \ \ \ \ \ ( C, D \text{ は積分定数 } ) \end{aligned}

はこの微分方程式の一般解である。

以上より、

\begin{aligned} y = C e^x + D e^{3x} - \frac{1}{5} \sin x + \frac{1}{10} \cos x \ \ \ \ \ \ \ \ ( C, D \text{ は積分定数 } ) \end{aligned}

は与えられた微分方程式の一般解である。