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大阪大学 情報科学研究科 情報基礎数学専攻 2020年8月実施 数学1-3

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Author​

Miyake

Description​

問題の要約（日本語）​

大阪大学公式問題（第2頁）（題意の要約）。

  1. 定積分 ∫02πcos⁡θ/(2+cos⁡θ) dθ\int_0^{2\pi}\cos\theta/(2+\cos\theta)\,d\theta を計算する。
  2. 微分方程式 y′′−4y′+3y=cos⁡xy''-4y'+3y=\cos x の一般解を求める。
  3. 実数全体で2回微分可能な関数 ff が、すべての xx で f′′(x)≥0f''(x)\ge0 を満たし、x→+∞x\to+\infty で有限値に収束するとする。このとき f′(x)→0f'(x)\to0 となることを証明する。

题目描述​

大阪大学官方原题（第2页）

  1. 计算积分 ∫02πcos⁡θ2+cos⁡θ dθ.\int_0^{2\pi}\frac{\cos\theta}{2+\cos\theta}\,d\theta.
  2. 求微分方程 y′′−4y′+3y=cos⁡xy''-4y'+3y=\cos x 的通解。
  3. 设 f:R→Rf:\mathbb R\to\mathbb R 二阶可微，lim⁡x→+∞f(x)\lim_{x\to+\infty}f(x) 存在且有限，并且每个实数 xx 都满足 f′′(x)≥0f''(x)\ge0。证明 lim⁡x→+∞f′(x)=0\lim_{x\to+\infty}f'(x)=0。

Kai​

1.​

∫02πcos⁡θ2+cos⁡θdθ=2∫0πcos⁡θ2+cos⁡θdθ=2∫0∞1−t21+t22+1−t21+t22dt1+t2        (t=tan⁡θ2)=−4∫0∞t2−1(t2+3)(t2+1)dt=−4∫0∞(2t2+3−1t2+1)dt=−4(π3−π2)=−4π3+2π\begin{aligned} \int_0^{2 \pi} \frac{\cos \theta}{2 + \cos \theta} d \theta &= 2 \int_0^\pi \frac{\cos \theta}{2 + \cos \theta} d \theta \\ &= 2 \int_0^\infty \frac{\frac{1-t^2}{1+t^2}}{2 + \frac{1-t^2}{1+t^2}} \frac{2 dt}{1 + t^2} \ \ \ \ \ \ \ \ \left( t = \tan \frac{\theta}{2} \right) \\ &= -4 \int_0^\infty \frac{t^2 - 1}{(t^2 + 3)(t^2 + 1)} dt \\ &= -4 \int_0^\infty \left( \frac{2}{t^2 + 3} - \frac{1}{t^2 + 1} \right) dt \\ &= -4 \left( \frac{\pi}{\sqrt{3}} - \frac{\pi}{2} \right) \\ &= - \frac{4 \pi}{\sqrt{3}} + 2 \pi \end{aligned}

2.​

まず、与えられた微分方程式に y=Asin⁡x+Bcos⁡xy = A \sin x + B \cos x （ A,BA,B は xx によらない定数）を代入すると、

(2A+4B)sin⁡x+(−4A+2B)cos⁡x=cos⁡x\begin{aligned} (2A+4B) \sin x + (-4A+2B) \cos x = \cos x \end{aligned}

となって、 A=−1/5,B=1/10A=-1/5, B=1/10 を得るので、

y=−15sin⁡x+110cos⁡x\begin{aligned} y = - \frac{1}{5} \sin x + \frac{1}{10} \cos x \end{aligned}

は特殊解である。

次に、

d2ydx2−4dydx+3y=0\begin{aligned} \frac{d^2y}{dx^2} - 4 \frac{dy}{dx} + 3y = 0 \end{aligned}

に y=eλxy = e^{\lambda x} （ λ\lambda は xx によらない定数）を代入すると、

λ2−4λ+3=0(λ−1)(λ−3)=0∴  λ=1,3\begin{aligned} \lambda^2 - 4 \lambda + 3 &= 0 \\ (\lambda-1)(\lambda-3) &= 0 \\ \therefore \ \ \lambda &= 1, 3 \end{aligned}

を得るので、

y=Cex+De3x        (C,D は積分定数 )\begin{aligned} y = C e^x + D e^{3x} \ \ \ \ \ \ \ \ ( C, D \text{ は積分定数 } ) \end{aligned}

はこの微分方程式の一般解である。

以上より、

y=Cex+De3x−15sin⁡x+110cos⁡x        (C,D は積分定数 )\begin{aligned} y = C e^x + D e^{3x} - \frac{1}{5} \sin x + \frac{1}{10} \cos x \ \ \ \ \ \ \ \ ( C, D \text{ は積分定数 } ) \end{aligned}

は与えられた微分方程式の一般解である。

3.​

f′′≥0f''\ge0 より f′f' は単調非減少である。任意の xx に対し、平均値の定理を区間 [x−1,x][x-1,x] と [x,x+1][x,x+1] に適用すると、ある ξx∈(x−1,x)\xi_x\in(x-1,x)、ηx∈(x,x+1)\eta_x\in(x,x+1) が存在し

f(x)−f(x−1)=f′(ξx)≤f′(x)≤f′(ηx)=f(x+1)−f(x)f(x)-f(x-1)=f'(\xi_x)\le f'(x)\le f'(\eta_x)=f(x+1)-f(x)

を得る。f(x)f(x) は x→+∞x\to+\infty で同じ有限値へ収束するため、両端の差はいずれも0へ収束する。はさみうちの原理から

lim⁡x→+∞f′(x)=0.\boxed{\lim_{x\to+\infty}f'(x)=0}.
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