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大阪大学 情報科学研究科 情報工学 2026年8月実施 7. 【選択問題】数学解析と信号処理

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xxxuuu

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配点：(1) 15，(2-1) 10，(2-2) 15，(2-3) 30，(2-4) 30，(2-5) 25

実数上で2階微分可能（twice differentiable）な関数（function）f(x)f(x) が，定義域（domain）x∈[0,b]x\in[0,b]（b>0b>0）において次を満たすとする。

  • f(0)<0f(0)<0，f(b)>0f(b)>0。
  • f′(x)≥c>0f'(x)\geq c>0。
  • f′′(x)≥0f''(x)\geq0。
  • f′′(x)f''(x) は連続。

ここで，f′f' および f′′f'' はそれぞれ ff の1階微分（first derivative）および2階微分（second derivative）を表し，f′f' および f′′f'' の値域（range）は有界（bounded）とする。

f(α)=0f(\alpha)=0 となる解 α\alpha を考える。以下の各問に答えよ。ただし，導出の過程も示すこと。

(1)​

定義域 [0,b][0,b] に α\alpha が唯一解（a unique solution）として存在することを示せ。

(2)​

以下の漸化式（recurrence formula）

xn+1=xn−f(xn)f′(xn)(n=0,1,⋯ )(A)x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\qquad(n=0,1,\cdots)\tag{A}

を用いて α\alpha を求めることを考える。x0∈(0,b)x_0\in(0,b) を任意に固定する。また，写像（mapping）

F(x)=x−f(x)f′(x)(B)F(x)=x-\frac{f(x)}{f'(x)}\tag{B}

を用いる。以下の各小問に答えよ。

(2-1)​

F(x)=xF(x)=x を満たす xx を FF の不動点（fixed point）という。ただし，x∈[0,b]x\in[0,b] とする。α\alpha は FF の不動点であることを示せ。

(2-2)​

定義域 [0,b][0,b] にて F(x)F(x) の1階微分 F′(x)F'(x) が連続関数であることを示せ。また，F′(α)F'(\alpha) を求めよ。

(2-3)​

任意の L∈(0,1)L\in(0,1) を想定する。また，I=[α−λ,α+λ]⊂[0,b]I=[\alpha-\lambda,\alpha+\lambda]\subset[0,b] とし，λ>0\lambda>0 である。λ\lambda が十分小さいならば任意の x,y∈Ix,y\in I（ただし x≠yx\ne y）に対して ∣F(x)−F(y)∣<L∣x−y∣|F(x)-F(y)|<L|x-y| となることを示せ。

(2-4)​

小問 (2-3) の II について，x0∈Ix_0\in I ならば整数 m>nm>n に対して lim⁡n→∞∣xm−xn∣=0\lim_{n\to\infty}|x_m-x_n|=0 となることを示せ。ここで，補題1を用いても良い。

補題1：小問 (2-3) の II について，任意の xn∈Ix_n\in I に対して F(xn)∈IF(x_n)\in I が成り立つ。

(2-5)​

小問 (2-3) の II について，x0∈Ix_0\in I ならば lim⁡n→∞xn=α\lim_{n\to\infty}x_n=\alpha となることを示せ。ここで，補題1，2，および3を用いても良い。

補題2：整数 m>nm>n に対して lim⁡n→∞∣xm−xn∣=0\lim_{n\to\infty}|x_m-x_n|=0 のとき，数列（sequence）{xn}\{x_n\} は収束する。

補題3：ある閉区間の中にある数列が収束するとき，その極限（limit）もその閉区間に入る。

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