大阪大学 情報科学研究科 情報工学 2023年8月実施 離散構造

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Author

祭音Myyura

Description

本問題で取り扱われるすべてのグラフ (graph) は無向グラフ (undirected graph) であり、多重辺 (parallel edge) や自己ループ (self loop) を持たないものである。グラフ $G$ は有限 (finite) の頂点集合 (vertex set) $V$、および異なる頂点の非順序対 (unordered pair) の集まりである辺集合 (edge set) $E$ の対 $(V, E)$ と表される。二つのグラフ $G_1 = (V_1, E_1)$ と $G_2 = (V_2, E_2)$ が与えられたとき、$V_1 \neq V_2$ または $E_1 \neq E_2$ が成立するならば、かつそのときに限り、$G_1$ と $G_2$ を異なる (distinct) グラフと見なす。

二つのグラフ $G_1 = (V_1, E_1)$ および $G_2 = (V_2, E_2)$ に対して、以下の条件をともに満たす写像 (mapping) $\varphi: V_1 \rightarrow V_2$ が存在するとき、$G_1$ と $G_2$ は同型 (isomorphic) であると呼ぶ。

• $\varphi$ は全単射 (bijective).
• 任意の $u, v \in V_1$ について、$\{u, v\} \in E_1$ ならば、かつそのときに限り $\{\varphi(u), \varphi(v)\} \in E_2$.

$\mathcal{G}$ をすべてのグラフの集合 (set) とする。グラフ $G_1, G_2 \in \mathcal{G}$ が同型であることを, $\mathcal{G}$ 上の二項関係 (binary relation) を表す記号 $\simeq$ を用いて $G_1 \simeq G_2$ と記述するものとする。また、正整数 (positive integer) $n$ について、$\mathcal{G}_n$ を頂点集合が $\{1, 2, \dots, n\}$ であるようなすべてのグラフの集合とする。以下の各問に答えよ。

(1) $\mathcal{H}$ を、以下に図示するグラフ $G_1, G_2, \dots, G_6$ からなる $\mathcal{G}_6$ の部分集合 (subset) とする。

• (1-1) $G_i \simeq G_j$ かつ $i < j$ を満たす対 (pair) $(i, j)$ をすべて挙げよ。

• (1-2) $\simeq$ は同値関係 (equivalence relation) であるため、$\mathcal{H}$ を $\simeq$ に基づく複数の同値類 (equivalence class) に分割することができる。それらすべての同値類からなる集合 $\mathcal{H}/\simeq$ の要素数 (number of elements) を答えよ。

(2) 部分集合 $\mathcal{I}_n \subseteq \mathcal{G}_n$ を、任意の異なる $G, H \in \mathcal{I}_n$ について $G \not\simeq H$ が成立するような部分集合で要素数が最大のものと定義する（もしそのような条件を満たす部分集合が複数ある場合、そのなかの任意の一つが $\mathcal{I}_n$ として選ばれているものとする）。有限集合 (finite set) $X$ に対して、記法 $|X|$ は集合の要素数を表すものとする。

• (2-1) $|\mathcal{I}_3|$ の値はいくつになるか。理由とともに答えよ。

• (2-2) 任意の $G \in \mathcal{G}_n$ について、高々 $n!$ 個の異なるグラフ $G' \in \mathcal{G}_n$ が $G \simeq G'$ を満たすことを証明せよ。

• (2-3) $|\mathcal{G}_n|$ の値はいくつになるか。理由とともに答えよ。

• (2-4) 以下の不等式 (inequality) が成立することを証明せよ。

$$\log_2 |\mathcal{I}_n| \geq \frac{n(n-1)}{2} - n \log_2 n$$

题目描述

本题只考虑有限简单无向图。图 $G=(V,E)$ 由有限顶点集和不同顶点无序对组成的边集构成。若存在保持邻接关系的双射 $\varphi:V_1\to V_2$，则称 $G_1,G_2$ 同构，记为 $G_1\simeq G_2$。

记 $\mathcal G$ 为全体图的集合，$\mathcal G_n$ 为顶点集恰为 $\{1,\ldots,n\}$ 的全部标号图。

1. 集合 $\mathcal H$ 由题图所示六个图 $G_1,\ldots,G_6$ 构成。
   1. 列出全部满足 $i<j$ 且 $G_i\simeq G_j$ 的对 $(i,j)$；
   2. 求商集 $\mathcal H/\simeq$ 的元素数。
2. 令 $\mathcal I_n\subseteq\mathcal G_n$ 为一个最大子集，其中任意两个不同图都不同构；也就是每个同构类至多取一个代表。

   1. 求 $|\mathcal I_3|$ 并说明理由；

   2. 证明对任意 $G\in\mathcal G_n$，至多有 $n!$ 个不同的 $G'\in\mathcal G_n$ 与 $G$ 同构；

   3. 求 $|\mathcal G_n|$；

   4. 证明

      $$\log_2|\mathcal I_n| \ge\frac{n(n-1)}2-n\log_2n.$$

Kai

(1)

(1-1)

$$\begin{aligned} G_1 \simeq G_6 \\ G_2 \simeq G_5 \end{aligned}$$

(1-2)

集合 $\mathcal{H}/\simeq$ の要素数は $4$ である。

(2)

(2-1)

$\mathcal{G}_3$ に属する全てのグラフを検証し、$V_3 = \{1, 2, 3\}$ とおくと

$$\mathcal{I}_3 = \left\{ \begin{aligned} &G_1 = (V_3, \emptyset), \\ &G_2 = (V_3, \{\{1, 2\}\}), \\ &G_3 = (V_3, \{\{1, 2\},\{2,3\}\}), \\ &G_4 = (V_3, \{\{1, 2\},\{2,3\}, \{1,3\}\}) \\ \end{aligned} \right\}$$

が分かるから、$|\mathcal{I}_3| = 4$ である。

(2-2)

同型の定義によれば、$G = (V, E)$ と $G' = (V, E')$ が同型である場合、全単射 $\varphi: V \to V$ が存在し、$\{u, v\} \in E \iff \{\varphi(u), \varphi(v)\} \in E'$ である。 この全単射は頂点のある順列と考えられ、頂点数が $n$ のとき、頂点の順列の総数は $n!$ であるので、$G$ と同型である $n$ 個の頂点を持つグラフ $G'$ は高々 $n!$ 個である。

(2-3)

グラフ $G \in \mathcal{G}_n$ は $n$ 個の頂点を持ち、枝の総数は高々 $\tbinom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}$ 本である。 単純グラフは自己ループや多重辺を持たないため、各枝は存在するかしないかの２つの選択肢があり、異なるグラフ全体の総数は $2^{\frac{n(n-1)}{2}}$ である。

(2-4)

(2-2)、(2-3) より

$$\begin{aligned} |\mathcal{I}_n| &\ge \frac{2^{\frac{n(n-1)}{2}}}{n!} \\ \log_2 |\mathcal{I}_n| &\ge \log_2 2^{\frac{n(n-1)}{2}} - \log_2 n! \\ \log_2 |\mathcal{I}_n| &\ge \frac{n(n-1)}{2} - \log_2 n^n \\ \log_2 |\mathcal{I}_n| &\ge \frac{n(n-1)}{2} - n\log_2 n \end{aligned}$$

である。