大阪大学情報科学研究科情報工学 2020年度数学解析と信号処理

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祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

各問について導出過程も示せ。

(1-1) $-\pi\le x<\pi$ で $f(x)=x^2$ 、 $f(x+2\pi)=f(x)$ とする。Fourier級数を求めよ。

(1-2) その結果を用い $\sum_{n=1}^\infty n^{-4}$ を求めよ。

(2) $H(z)=(1-az)/(z-a)$ 、実数 $a$ は $-1\le a<1$ とする。

(2-1) 次の3方式のうち $H$ を実現するものを選び、 $x(n),y(n)$ の関係を求めよ。（あ） $v=x+ay$ , $y(n)=v(n-1)-ax(n)$ ；（い） $v(n)=x(n)-av(n-1)$ , $y(n)=v(n)+av(n-1)$ ；（う） $y(n)=ax(n-1)-ax(n)$ 。
(2-2) $a=0,-1$ の各場合の機能を、加算、遅延、反転、増幅、ハイパス、ローパス、そのまま通過（all-pass）から選び、理由を説明せよ。
(2-3) 振幅特性と位相特性を求めよ。

(1-1) 偶関数なので $b_n=0$ 。部分積分により

a_0=\frac2\pi\int_0^\pi x^2dx=\frac{2\pi^2}3,\qquad a_n=\frac2\pi\int_0^\pi x^2\cos nx\,dx=\frac{4(-1)^n}{n^2}.

よって

\boxed{f(x)=\frac{\pi^2}3+4\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{n^2}\cos nx}.

(1-2) Parsevalの等式から

\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}x^4dx=\frac{a_0^2}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n^2, \qquad\frac{2\pi^4}5=\frac{2\pi^4}9+16\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^4}.

したがって $\boxed{\sum_{n=1}^\infty n^{-4}=\pi^4/90}$ 。

(2-1) （あ）。中間信号を消去すると

\boxed{y(n)=x(n-1)-ax(n)+ay(n-1)}.

$z$ 変換すれば $Y/X=(z^{-1}-a)/(1-az^{-1})=(1-az)/(z-a)$ 。

(2-2) $a=0$ では $H=z^{-1}$ なので 1標本遅延。 $a=-1$ では分子・分母の共通因子を消去して $H=1$ となり、零初期状態では そのまま通過。

(2-3) $-1<a<1$ , $z=e^{i\omega}$ とすると

H(e^{i\omega})=\frac{(1-a)\cos(\omega/2)-i(1+a)\sin(\omega/2)}{(1-a)\cos(\omega/2)+i(1+a)\sin(\omega/2)}.

分子と分母が共役なので

\boxed{|H(e^{i\omega})|=1},

\boxed{\arg H(e^{i\omega})=-2\operatorname{atan2}\bigl((1+a)\sin(\omega/2),(1-a)\cos(\omega/2)\bigr)\pmod{2\pi}}.

$-\pi<\omega<\pi$ では $-2\tan^{-1}(\frac{1+a}{1-a}\tan\frac\omega2)$ と書ける。 $a=-1$ は $H=1$ と連続延長し、振幅1、位相0である。