大阪大学 電子情報学専攻 2015年8月実施 専門 第5問 Fourier変換

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Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

信号 $f(t)$ のFourier変換を $F(\omega)$ とし、$t$ は時刻、$\omega$ は角周波数とする。

(1) Fourier変換の定義とFourier級数との違いを述べよ。

(2) $|F(\omega)|^2$ が角周波数成分のパワーを表す理由を説明せよ。

(3) Parsevalの等式

$$\int_{-\infty}^\infty|f(t)|^2dt=k\int_{-\infty}^\infty|F(\omega)|^2d\omega$$

を証明し、実定数 $k$ を求めよ。$|f(t)|^2=f(t)\overline{f(t)}$（上線は複素共役）と、次の畳込みのFourier変換公式を既知として用いてよい。

$$\int_{-\infty}^{\infty}f(t-\tau)g(\tau)\,d\tau =k'\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)G(\omega)e^{j\omega t}\,d\omega.$$

ここで $j$ は虚数単位、$k'$ は実定数である。$k$ の解答に $k'$ を含めてもよい。

(4) Parsevalの等式の物理的意味を説明せよ。

Kai

(1) 規約を

$$\boxed{F(\omega)=\int_{-\infty}^\infty f(t)e^{-i\omega t}dt,\quad f(t)=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^\infty F(\omega)e^{i\omega t}d\omega}$$

とする。Fourier級数は周期信号を離散的な整数倍周波数へ分解し、Fourier変換は非周期信号を連続的な周波数へ分解する。

(2) 正弦波成分の平均パワーは振幅の絶対値の2乗に比例するため、$|F(\omega)|^2$ は各周波数成分の寄与を表す。有限エネルギー信号では、厳密には $|F(\omega)|^2$ はエネルギースペクトル密度であり、帯域 $d\omega$ のエネルギーは $|F(\omega)|^2d\omega/(2\pi)$ である。

(3) 逆変換を代入し、$\int f(t)e^{-i\omega t}dt=F(\omega)$ を用いて

$$\begin{aligned} \int f(t)\overline{f(t)}dt &=\frac1{2\pi}\int\overline{F(\omega)}\left(\int f(t)e^{-i\omega t}dt\right)d\omega\\ &=\frac1{2\pi}\int|F(\omega)|^2d\omega. \end{aligned}$$

よって $\boxed{k=1/(2\pi)}$。積分交換が可能な信号で証明し、一般の二乗可積分信号には極限で拡張する。

(4) 信号の全エネルギーは、時間領域で瞬時パワーを積分しても、周波数領域で全成分のエネルギーを積分しても等しい。Fourier変換による表現変更は、適切な正規化の下でエネルギーを保存する。