大阪大学 情報科学研究科 情報数理学専攻 2022年7月実施 情報数理学 数学解析

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• 高阶线性常微分方程
• 辐角原理与绕数
• 留数定理
• 傅里叶变换
• 帕塞瓦尔恒等式

Author

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

1. 高階線形微分方程式

$n$ を正の整数とする。実数値関数 $x(t)$ に関する微分方程式

$$\frac{d^n x}{dt^n}=x$$

の一般解を求めよ。

2. 複素曲線と積分

複素数値関数

$$\phi(t)=e^{2\pi it}-4i(1-|t|)t,\qquad -1\le t\le1$$

を考える。以下の問いに答えなさい。

(1) $\phi(t)$ が表す曲線の概形を複素平面上に図示しなさい。

(2) 次の積分を求めなさい。

$$I=\int_{-1}^{1}\frac{\phi'(t)}{\phi(t)(\phi(t)-i)}\,dt.$$

3. フーリエ変換と広義積分

以下の問いに答えなさい。

(1) 以下の関数のフーリエ変換 $\widehat f(\omega)$ を求めなさい。

$$f(t)= \begin{cases} 2-|t|,&|t|\le2,\\ 0,&|t|>2. \end{cases}$$

(2) $\displaystyle I_2=\int_0^\infty\frac{\sin^2x}{x^2}\,dx$ を求めなさい。

(3) $\displaystyle I_4=\int_0^\infty\frac{\sin^4x}{x^4}\,dx$ を求めなさい。

题目描述

1. 设 $n$ 为正整数，求实值函数 $x(t)$ 满足的微分方程 $d^n x/dt^n=x$ 的通解。

2. 复平面曲线与积分

考虑复值函数

$$\phi(t)=e^{2\pi it}-4i(1-|t|)t,\qquad -1\le t\le1.$$

(1) 在复平面上画出该函数所表示曲线的概形。

(2) 求积分

$$I=\int_{-1}^{1}\frac{\phi'(t)}{\phi(t)(\phi(t)-i)}\,dt.$$

第3题 回答下列问题。

(1) 求函数

$$f(t)= \begin{cases} 2-|t|,&|t|\le2,\\ 0,&|t|>2 \end{cases}$$

的傅里叶变换 $\widehat f(\omega)$。

(2) 求 $\displaystyle I_2=\int_0^\infty\frac{\sin^2x}{x^2}\,dx$。

(3) 求 $\displaystyle I_4=\int_0^\infty\frac{\sin^4x}{x^4}\,dx$。

Kai

1. 高階線形微分方程式

特性方程式は $\lambda^n-1=0$ であり、その相異なる $n$ 個の根は

$$\lambda_k=e^{2\pi i k/n}=\cos\theta_k+i\sin\theta_k, \qquad \theta_k=\frac{2\pi k}{n},\quad k=0,1,\ldots,n-1$$

である。非実根 $\lambda_k$ と $\lambda_{n-k}=\overline{\lambda_k}$ を組にすると、対応する実数解は

$$e^{t\cos\theta_k}\cos(t\sin\theta_k), \qquad e^{t\cos\theta_k}\sin(t\sin\theta_k)$$

となる。

$n=2m$（$m\ge1$）の場合、実根は $1,-1$ なので、実数値の一般解は

$$\boxed{ x(t)=C_1e^t+C_2e^{-t} +\sum_{k=1}^{m-1}e^{t\cos\theta_k} \left[A_k\cos(t\sin\theta_k)+B_k\sin(t\sin\theta_k)\right] }.$$

$n=2m-1$（$m\ge1$）の場合、実根は $1$ のみなので、

$$\boxed{ x(t)=C_1e^t +\sum_{k=1}^{m-1}e^{t\cos\theta_k} \left[A_k\cos(t\sin\theta_k)+B_k\sin(t\sin\theta_k)\right] }.$$

ここで $C_1,C_2,A_k,B_k$ は任意の実定数であり、各場合に独立な定数の個数は $n$ である。特性根がすべて単根なので、これらは実数解全体を表す。空の和は $0$ とし、$n=1$ では $x=C_1e^t$、$n=2$ では $x=C_1e^t+C_2e^{-t}$ となる。

2. 複素曲線と積分

(1)

$\phi(t)=x(t)+iy(t)$ とおけば、

$$x(t)=\cos(2\pi t),\qquad y(t)=\sin(2\pi t)-4(1-|t|)t.$$

$x(-t)=x(t)$、$y(-t)=-y(t)$ より、曲線全体は実軸に関して対称である。主な点は次のとおりである。

$t$	$\phi(t)$
$-1,0,1$	$1$
$-3/4$	$7i/4$
$-1/2$	$-1+i$
$-1/4$	$-i/4$
$1/4$	$i/4$
$1/2$	$-1-i$
$3/4$	$-7i/4$

$0\le t\le1$ の部分を $C_+$ とする。$0<t<1/2$ では、$x(t)=x(1-t)$ であり、

$$y(t)-y(1-t)=2\sin(2\pi t)>0.$$

したがって、$C_+$ は上側の枝を $1$ から $-1-i$ へ進み、下側の枝を通って $1$ に戻る単純な反時計回りの閉曲線である。$-1\le t\le0$ の部分 $C_-$ はその実軸対称像を逆向きにたどるので、こちらも反時計回りとなる。

両曲線は $1$ と負の実軸上の一点で交わる。後者は $\sin(2\pi t)=4t(1-t)$ の $0<t<1/2$ における解に対応し、およそ $-0.472$ である。

(2)

$C$ を $t=-1$ から $t=1$ へ進む向きの曲線とすると、

$$I=\int_C\frac{dz}{z(z-i)}.$$

$C_+$ の虚軸との交点は $i/4,-7i/4$、$C_-$ の交点は $7i/4,-i/4$ である。よって、$0$ は両方の閉曲線の内部にあり、$i$ は $C_-$ の内部にのみある。したがって、回転数は

$$\operatorname{Ind}(C,0)=2,\qquad \operatorname{Ind}(C,i)=1.$$

また、曲線上に $0,i$ は存在しない。$f(z)=1/[z(z-i)]$ の留数は

$$\operatorname{Res}(f,0)=\frac1{-i}=i,\qquad \operatorname{Res}(f,i)=\frac1i=-i.$$

回転数を含む留数定理により、

$$\boxed{ I=2\pi i\left\{2\operatorname{Res}(f,0) +\operatorname{Res}(f,i)\right\} =2\pi i(2i-i)=-2\pi }.$$

3. フーリエ変換と広義積分

フーリエ変換の規約を

$$\widehat f(\omega)=\frac1{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}\,dt$$

とする。

(1)

$f$ は偶関数なので，$\omega\ne0$ に対して

$$\begin{aligned} \widehat f(\omega) &=\frac2{\sqrt{2\pi}}\int_0^2(2-t)\cos(\omega t)\,dt\\ &=\frac2{\sqrt{2\pi}} \left[\frac{(2-t)\sin(\omega t)}{\omega} -\frac{\cos(\omega t)}{\omega^2}\right]_0^2\\ &=\frac{2(1-\cos2\omega)}{\sqrt{2\pi}\,\omega^2} =\frac4{\sqrt{2\pi}}\frac{\sin^2\omega}{\omega^2}. \end{aligned}$$

また，$\widehat f(0)=\frac2{\sqrt{2\pi}}\int_0^2(2-t)\,dt=\frac4{\sqrt{2\pi}}$ より，

$$\boxed{ \widehat f(\omega)= \begin{cases} \dfrac4{\sqrt{2\pi}}\dfrac{\sin^2\omega}{\omega^2},&\omega\ne0,\\[2mm] \dfrac4{\sqrt{2\pi}},&\omega=0. \end{cases} }$$

(2)

$f$ は連続で $f,\widehat f\in L^1(\mathbb R)$ であるから，フーリエ反転公式を $t=0$ に適用すると

$$2=f(0) =\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\widehat f(\omega)\,d\omega =\frac2\pi\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin^2\omega}{\omega^2}\,d\omega =\frac4\pi I_2.$$

したがって

$$\boxed{I_2=\frac\pi2}.$$

(3)

$f\in L^2(\mathbb R)$ より，パーセバルの等式を用いると

$$\int_{-\infty}^{\infty}|\widehat f(\omega)|^2\,d\omega =\int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|^2\,dt =2\int_0^2(2-t)^2\,dt=\frac{16}{3}.$$

一方，(1) より

$$\int_{-\infty}^{\infty}|\widehat f(\omega)|^2\,d\omega =\frac8\pi\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin^4\omega}{\omega^4}\,d\omega =\frac{16}\pi I_4.$$

よって

$$\boxed{I_4=\frac\pi3}.$$

Reference

• 大阪大学公式：令和5年度 情報数理学専攻 入学者選抜試験問題（2022年7月30日実施、数学解析：PDF 5ページ）