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大阪大学 情報科学研究科 情報数理学専攻 2019年8月実施 情報数理学 数学解析

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Author​

Miyake

Description​

题目描述​

原文题干缺失。根据现有解答，第 1 题可还原为以下常微分方程组；第 2、3 题无法还原。

  1. 函数列 {xk(t)}k≥0\{x_k(t)\}_{k\ge0} 满足
    x0′(t)=−x0(t),xk′(t)=xk−1(t)−xk(t)(k≥1),x_0'(t)=-x_0(t),\qquad x_k'(t)=x_{k-1}(t)-x_k(t)\quad(k\ge1),
    初值为 x0(0)=1,xk(0)=0(k≥1).x_0(0)=1,\qquad x_k(0)=0\quad(k\ge1). 先求 x0,x1,x2x_0,x_1,x_2，再猜测并证明一般公式 xk(t)x_k(t)。
  2. 第 2 题题干与解答均缺失。
  3. 第 3 题题干与解答均缺失。

考点​

  • 一阶线性微分方程：用积分因子或待定函数逐级求解。
  • 递推微分方程组：由低阶解识别一般模式。
  • 数学归纳与代入验证：验证通式同时满足微分方程和初始条件。

Kai​

1.​

まず、 x0(t)=e−tx_0(t) = e^{-t} は、すぐにわかる。 x1(t)x_1(t) については、

dx1(t)dt=−x1(t)+x0(t)=−x1(t)+e−t\begin{aligned} \frac{dx_1(t)}{dt} &= - x_1(t) + x_0(t) \\ &= - x_1(t) + e^{-t} \end{aligned}

なので、適当な関数 A(t)A(t) を使って x1(t)=A(t)e−tx_1(t) = A(t) e^{-t} と書いて、 上の微分方程式に代入すると、

dA(t)dt=1\begin{aligned} \frac{dA(t)}{dt} = 1 \end{aligned}

となるので、積分定数を CC として、

A(t)=t+C∴  x1(t)=(t+C)e−t\begin{aligned} A(t) &= t + C \\ \therefore \ \ x_1(t) &= (t + C) e^{-t} \end{aligned}

であるが、初期条件 x1(0)=0x_1(0)=0 を満たすようにするには、 C=0C=0 とすればよく、

x1(t)=te−t\begin{aligned} x_1(t) = t e^{-t} \end{aligned}

を得る。 同様にして、

x2(t)=12t2e−t\begin{aligned} x_2(t) = \frac{1}{2} t^2 e^{-t} \end{aligned}

を得る。

以上より、 k=0,1,2,⋯k=0,1,2,\cdots について、

xk(t)=1k!tke−t\begin{aligned} x_k(t) = \frac{1}{k!} t^k e^{-t} \end{aligned}

と予想できるが、これは確かに初期条件を満たし、 k=1,2,⋯k=1,2,\cdots について、

dxk(t)dt=1(k−1)!tk−1e−t−1k!tke−t=xk−1(t)−xk(t)\begin{aligned} \frac{dx_k(t)}{dt} &= \frac{1}{(k-1)!} t^{k-1} e^{-t} - \frac{1}{k!} t^k e^{-t} \\ &= x_{k-1}(t) - x_k(t) \end{aligned}

であるから微分方程式も満たす。

2.​

3.​

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