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大阪公立大学 理学研究科 数学専攻 2025年度 数学 II-11

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description​

R>2R>2 とし、上半円弧 γR:z=Reiθ (0≤θ≤π)\gamma_R:z=Re^{i\theta}\ (0\le\theta\le\pi) を考える。

  1. lim⁡R→∞∫γReizz2+4 dz\displaystyle\lim_{R\to\infty}\int_{\gamma_R}\frac{e^{iz}}{z^2+4}\,dz を求めよ。
  2. ∫−∞∞cos⁡xx2+4 dx\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\cos x}{x^2+4}\,dx を求めよ。

Kai​

(1)​

z=Reiθz=Re^{i\theta} 上で

∣eiz∣=e−Rsin⁡θ≤1,∣z2+4∣≥R2−4.|e^{iz}|=e^{-R\sin\theta}\le1,\qquad |z^2+4|\ge R^2-4.

よって

∣∫γReizz2+4 dz∣≤πRR2−4⟶0.\left|\int_{\gamma_R}\frac{e^{iz}}{z^2+4}\,dz\right| \le\frac{\pi R}{R^2-4}\longrightarrow0.

(2)​

f(z)=eiz/(z2+4)f(z)=e^{iz}/(z^2+4) の上半平面内の極は z=2iz=2i のみで、

Res⁡z=2if(z)=e−24i.\operatorname*{Res}_{z=2i}f(z)=\frac{e^{-2}}{4i}.

(1) と留数定理より

∫−∞∞eixx2+4 dx=2πie−24i=π2e−2.\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{ix}}{x^2+4}\,dx =2\pi i\frac{e^{-2}}{4i}=\frac\pi2e^{-2}.

実部をとれば

∫−∞∞cos⁡xx2+4 dx=π2e−2\boxed{\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\frac{\cos x}{x^2+4}\,dx =\frac\pi2e^{-2}}

である。

Reference​

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