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大阪公立大学 経済学研究科 2023年度 計量経済学 [2]

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Author​

祭音Myyura (Based on Miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

Description​

XiX_i を平均 μ\mu、分散 σ2\sigma^2 の正規分布に従う確率変数とする。さらに、XiX_i と XjX_j（i≠ji\ne j）は互いに独立であるとする。∑i=1n(Xi−Xˉσ)2\displaystyle\sum_{i=1}^n\left(\frac{X_i-\bar X}{\sigma}\right)^2 は期待値 (n−1)(n-1)、分散 2(n−1)2(n-1) であることを踏まえて以下の問いに答えよ。

(2-1) ∑i=1n(Xi−Xˉ)2\displaystyle\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X)^2 の期待値を求めよ。

(2-2) ∑i=1n(Xi−Xˉ)2\displaystyle\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X)^2 の分散を求めよ。

(2-3) 確率変数 WiW_i と定数 aa に関して、Wi−a=(Wi−E[Wi])+(E[Wi]−a)W_i-a=(W_i-E[W_i])+(E[W_i]-a) の分解を利用して、

E[(Wi−a)2]=E[(Wi−E[Wi])2]+(E[Wi]−a)2=V[Wi]+(E[Wi]−a)2\begin{aligned} E[(W_i-a)^2] &=E[(W_i-E[W_i])^2]+(E[W_i]-a)^2\\ &=V[W_i]+(E[W_i]-a)^2 \end{aligned}

を証明せよ。なお、E[⋅]E[\cdot] は ⋅\cdot の期待値、V[⋅]V[\cdot] は ⋅\cdot の分散である。

(2-4) cc を定数として、E ⁣[{c∑i=1n(Xi−Xˉ)2−σ2}2]\displaystyle E\!\left[\left\{c\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X)^2-\sigma^2\right\}^2\right] を求めよ。

(2-5) E ⁣[{c∑i=1n(Xi−Xˉ)2−σ2}2]\displaystyle E\!\left[\left\{c\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X)^2-\sigma^2\right\}^2\right] を最小とする cc を求めよ。ただし、nn は 22 以上とする。

题目描述​

设 XiX_i 为服从均值 μ\mu、方差 σ2\sigma^2 的正态分布的随机变量，且当 i≠ji\ne j 时，XiX_i 与 XjX_j 相互独立。已知 ∑i=1n(Xi−Xˉσ)2\displaystyle\sum_{i=1}^n\left(\frac{X_i-\bar X}{\sigma}\right)^2 的期望为 (n−1)(n-1)、方差为 2(n−1)2(n-1)，回答以下问题。

(2-1) 求 ∑i=1n(Xi−Xˉ)2\displaystyle\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X)^2 的期望。

(2-2) 求 ∑i=1n(Xi−Xˉ)2\displaystyle\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X)^2 的方差。

(2-3) 对随机变量 WiW_i 和常数 aa，利用分解 Wi−a=(Wi−E[Wi])+(E[Wi]−a)W_i-a=(W_i-E[W_i])+(E[W_i]-a)，证明

E[(Wi−a)2]=E[(Wi−E[Wi])2]+(E[Wi]−a)2=V[Wi]+(E[Wi]−a)2.\begin{aligned} E[(W_i-a)^2] &=E[(W_i-E[W_i])^2]+(E[W_i]-a)^2\\ &=V[W_i]+(E[W_i]-a)^2. \end{aligned}

其中，E[⋅]E[\cdot] 表示期望，V[⋅]V[\cdot] 表示方差。

(2-4) 设 cc 为常数，求 E ⁣[{c∑i=1n(Xi−Xˉ)2−σ2}2]\displaystyle E\!\left[\left\{c\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X)^2-\sigma^2\right\}^2\right]。

(2-5) 求使 E ⁣[{c∑i=1n(Xi−Xˉ)2−σ2}2]\displaystyle E\!\left[\left\{c\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X)^2-\sigma^2\right\}^2\right] 最小的 cc，其中 n≥2n\ge2。

Kai​

(2-1)–(2-2)​

Q=∑i(Xi−Xˉ)2=σ2ZQ=\sum_i(X_i-\bar X)^2=\sigma^2 Z とおくと、題意より E[Z]=n−1E[Z]=n-1、V[Z]=2(n−1)V[Z]=2(n-1) である。したがって

E[Q]=(n−1)σ2,V[Q]=2(n−1)σ4.\boxed{\begin{gathered} E[Q]=(n-1)\sigma^2,\\ V[Q]=2(n-1)\sigma^4 \end{gathered}}.

(2-3)​

m=E[Wi]m=E[W_i] とおいて平方を展開すると、

E[(Wi−a)2]=E[(Wi−m)2]+2(m−a)E[Wi−m]+(m−a)2=V[Wi]+(E[Wi]−a)2.\begin{aligned} E[(W_i-a)^2] &=E[(W_i-m)^2]\\ &\quad+2(m-a)E[W_i-m]+(m-a)^2\\ &=\boxed{V[W_i]+(E[W_i]-a)^2}. \end{aligned}

中央の項は E[Wi−m]=0E[W_i-m]=0 により消える。

(2-4)​

(2-3) を Wi=cQW_i=cQ、a=σ2a=\sigma^2 に適用すると、

E[(cQ−σ2)2]=c2V[Q]+(cE[Q]−σ2)2=σ4{2c2(n−1)+(c(n−1)−1)2}.\begin{aligned} E[(cQ-\sigma^2)^2] &=c^2V[Q]+(cE[Q]-\sigma^2)^2\\ &=\boxed{\sigma^4\{2c^2(n-1)+(c(n-1)-1)^2\}}. \end{aligned}

(2-5)​

括弧内を平方完成すると、

(n2−1)c2−2(n−1)c+1=(n2−1)(c−1n+1)2+2n+1.\begin{gathered} (n^2-1)c^2-2(n-1)c+1\\ =(n^2-1)\left(c-\frac1{n+1}\right)^2+\frac2{n+1}. \end{gathered}

n≥2n\ge2 より二次係数は正であり、

c=1n+1\boxed{c=\frac1{n+1}}

で最小となる。最小均方誤差は 2σ4/(n+1)2\sigma^4/(n+1)。この目的は不偏性ではなく均方誤差の最小化であるため、不偏分散の係数 1/(n−1)1/(n-1) とは異なる。

Reference​

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