大阪公立大学経済学研究科 2023年度計量経済学 [2]

标签：

Author

祭音Myyura (Based on Miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

$X_i$ は平均 $\mu$ 、分散 $\sigma^2$ の正規分布に従い、互いに独立である。 $\bar X=n^{-1}\sum_iX_i$ とし、 $\sum_i\{(X_i-\bar X)/\sigma\}^2$ の期待値が $n-1$ 、分散が $2(n-1)$ であることを用いて答えよ。

(2-1) $\sum_i(X_i-\bar X)^2$ の期待値を求めよ。

(2-2) 同じ量の分散を求めよ。

(2-3) 確率変数 $W_i$ と定数 $a$ に対して、 $W_i-a=(W_i-E[W_i])+(E[W_i]-a)$ の分解を利用し、

E[(W_i-a)^2]=V[W_i]+(E[W_i]-a)^2

を証明せよ。

(2-4) 定数 $c$ に対して $E[\{c\sum_i(X_i-\bar X)^2-\sigma^2\}^2]$ を求めよ。

(2-5) $n\ge2$ のとき、(2-4) の値を最小にする $c$ を求めよ。

题目描述

$X_1,\ldots,X_n$ 独立同分布于 $N(\mu,\sigma^2)$ ，样本均值为 $\bar X$ 。已知 $\sum_i((X_i-\bar X)/\sigma)^2$ 的期望为 $n-1$ 、方差为 $2(n-1)$ 。

求离差平方和 $Q=\sum_i(X_i-\bar X)^2$ 的期望。
求 $Q$ 的方差。
将 $W-a$ 分成中心化随机项和常数偏差项，证明 $E[(W-a)^2]=\operatorname{Var}(W)+(E[W]-a)^2$ 。
求 $E[(cQ-\sigma^2)^2]$ 。
$n\ge2$ 时求使上述均方误差最小的常数 $c$ 。

Kai

(2-1)–(2-2)

$Q=\sum_i(X_i-\bar X)^2=\sigma^2 Z$ とおくと、題意より $E[Z]=n-1$ 、 $V[Z]=2(n-1)$ である。したがって

\boxed{E[Q]=(n-1)\sigma^2,\qquad V[Q]=2(n-1)\sigma^4}.

(2-3)

$m=E[W_i]$ とおいて平方を展開すると、

\begin{aligned} E[(W_i-a)^2] &=E[(W_i-m)^2]+2(m-a)E[W_i-m]+(m-a)^2\\ &=\boxed{V[W_i]+(E[W_i]-a)^2}. \end{aligned}

中央の項は $E[W_i-m]=0$ により消える。

(2-4)

(2-3) を $W_i=cQ$ 、 $a=\sigma^2$ に適用すると、

\begin{aligned} E[(cQ-\sigma^2)^2] &=c^2V[Q]+(cE[Q]-\sigma^2)^2\\ &=\boxed{\sigma^4\{2c^2(n-1)+(c(n-1)-1)^2\}}. \end{aligned}

(2-5)

括弧内を平方完成すると、

(n^2-1)c^2-2(n-1)c+1 =(n^2-1)\left(c-\frac1{n+1}\right)^2+\frac2{n+1}.

$n\ge2$ より二次係数は正であり、

\boxed{c=\frac1{n+1}}

で最小となる。最小均方誤差は $2\sigma^4/(n+1)$ 。この目的は不偏性ではなく均方誤差の最小化であるため、不偏分散の係数 $1/(n-1)$ とは異なる。

Author​

Description​

题目描述​

Kai​

(2-1)–(2-2)​

(2-3)​

(2-4)​

(2-5)​

Reference​