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大阪公立大学 経済学研究科 2023年度 計量経済学 [1]

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Author​

祭音Myyura (Based on Miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

Description​

回帰式 Yi=α+βxi+uiY_i=\alpha+\beta x_i+u_i（i=1,2,…,ni=1,2,\ldots,n）において α,β\alpha,\beta は係数であり、xix_i は確率変数ではない。また、誤差項 uiu_i は平均 00、分散 σ2\sigma^2 の確率変数である。

(1-1) この回帰式を最小二乗法で推定したときの α,β\alpha,\beta の最小二乗推定量を α^,β^\hat\alpha,\hat\beta、最小二乗残差を u^i\hat u_i、xˉ=1n∑i=1nxi\bar x=\dfrac1n\sum_{i=1}^n x_i、yˉ=1n∑i=1nyi\bar y=\dfrac1n\sum_{i=1}^n y_i としたとき、

∑i=1n(xi−xˉ)u^i=0\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)\hat u_i=0

が成り立つことを証明せよ。

(1-2) 以下の式

∑i=1n(yi−yˉ)2=β^2∑i=1n(xi−xˉ)2+∑i=1nu^i2\sum_{i=1}^n(y_i-\bar y)^2 =\hat\beta^2\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2+\sum_{i=1}^n\hat u_i^2

が成り立つことを証明せよ。

(1-3) 以下の式

0≤1−∑i=1nu^i2∑i=1n(yi−yˉ)2≤10\le1-\frac{\sum_{i=1}^n\hat u_i^2}{\sum_{i=1}^n(y_i-\bar y)^2}\le1

を証明せよ。

(1-4) 回帰式を Yi=β′xi+ui′Y_i=\beta'x_i+u_i'（i=1,2,…,ni=1,2,\ldots,n）とする。ただし、β′\beta' は係数であり、xix_i は確率変数ではない。また、誤差項 ui′u_i' は平均 00、分散 σ2\sigma^2 の確率変数で、最小二乗法で推定したときの β′\beta' の最小二乗推定量を β^′\hat\beta'、最小二乗残差を u^i′\hat u_i'、xˉ=1n∑i=1nxi\bar x=\dfrac1n\sum_{i=1}^n x_i、yˉ=1n∑i=1nyi\bar y=\dfrac1n\sum_{i=1}^n y_i とする。

∑i=1n(xi−xˉ)u^i′=0\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)\hat u_i'=0

は必ず成立するか。理由を示して答えよ。

(1-5) 回帰式を Yi=β′xi+uiY_i=\beta'x_i+u_i とした (1-4) の状況で、

∑i=1n(yi−yˉ)2=(β^′)2∑i=1n(xi−xˉ)2+∑i=1n(u^i′)2\sum_{i=1}^n(y_i-\bar y)^2 =(\hat\beta')^2\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2+\sum_{i=1}^n(\hat u_i')^2

は成立するか。理由を示して答えよ。

(1-6) 回帰式を Yi=βxi+uiY_i=\beta x_i+u_i とした (1-4) の状況で、以下の式

0≤1−∑i=1n(u^i′)2∑i=1n(yi−yˉ)2≤10\le1-\frac{\sum_{i=1}^n(\hat u_i')^2}{\sum_{i=1}^n(y_i-\bar y)^2}\le1

は必ず成立するか。もし、成立しないなら上記式のどちらの不等号が成立しないのか。理由を示して答えよ。

题目描述​

在回归式 Yi=α+βxi+uiY_i=\alpha+\beta x_i+u_i（i=1,2,…,ni=1,2,\ldots,n）中，α,β\alpha,\beta 为系数，xix_i 不是随机变量。误差项 uiu_i 为均值 00、方差 σ2\sigma^2 的随机变量。

(1-1) 用最小二乘法估计该回归式，记 α,β\alpha,\beta 的最小二乘估计量为 α^,β^\hat\alpha,\hat\beta，最小二乘残差为 u^i\hat u_i，并令 xˉ=1n∑i=1nxi\bar x=\dfrac1n\sum_{i=1}^n x_i、yˉ=1n∑i=1nyi\bar y=\dfrac1n\sum_{i=1}^n y_i。证明

∑i=1n(xi−xˉ)u^i=0.\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)\hat u_i=0.

(1-2) 证明下式成立。

∑i=1n(yi−yˉ)2=β^2∑i=1n(xi−xˉ)2+∑i=1nu^i2.\sum_{i=1}^n(y_i-\bar y)^2 =\hat\beta^2\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2+\sum_{i=1}^n\hat u_i^2.

(1-3) 证明下式。

0≤1−∑i=1nu^i2∑i=1n(yi−yˉ)2≤1.0\le1-\frac{\sum_{i=1}^n\hat u_i^2}{\sum_{i=1}^n(y_i-\bar y)^2}\le1.

(1-4) 设回归式为 Yi=β′xi+ui′Y_i=\beta'x_i+u_i'（i=1,2,…,ni=1,2,\ldots,n）。其中 β′\beta' 为系数，xix_i 不是随机变量。误差项 ui′u_i' 为均值 00、方差 σ2\sigma^2 的随机变量。用最小二乘法估计时，记 β′\beta' 的最小二乘估计量为 β^′\hat\beta'，最小二乘残差为 u^i′\hat u_i'，并令 xˉ=1n∑i=1nxi\bar x=\dfrac1n\sum_{i=1}^n x_i、yˉ=1n∑i=1nyi\bar y=\dfrac1n\sum_{i=1}^n y_i。下式是否一定成立？说明理由。

∑i=1n(xi−xˉ)u^i′=0.\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)\hat u_i'=0.

(1-5) 在 (1-4) 的情形下，回归式为 Yi=β′xi+uiY_i=\beta'x_i+u_i 时，下式是否成立？说明理由。

∑i=1n(yi−yˉ)2=(β^′)2∑i=1n(xi−xˉ)2+∑i=1n(u^i′)2.\sum_{i=1}^n(y_i-\bar y)^2 =(\hat\beta')^2\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2+\sum_{i=1}^n(\hat u_i')^2.

(1-6) 在 (1-4) 的情形下，回归式为 Yi=βxi+uiY_i=\beta x_i+u_i 时，下式是否一定成立？若不成立，指出哪一侧不等号不成立，并说明理由。

0≤1−∑i=1n(u^i′)2∑i=1n(yi−yˉ)2≤1.0\le1-\frac{\sum_{i=1}^n(\hat u_i')^2}{\sum_{i=1}^n(y_i-\bar y)^2}\le1.

原卷 (1-5)、(1-6) 的回归式省略了部分撇号；两问均明确引用 (1-4) 的无截距回归情形，以上保留原卷记号。

Kai​

(1-1)​

最小化 Q(α,β)=∑i(yi−α−βxi)2Q(\alpha,\beta)=\sum_i(y_i-\alpha-\beta x_i)^2 の正規方程式は

∑iu^i=0,∑ixiu^i=0.\sum_i\hat u_i=0,\qquad\sum_i x_i\hat u_i=0.

よって ∑i(xi−xˉ)u^i=∑ixiu^i−xˉ∑iu^i=0\boxed{\sum_i(x_i-\bar x)\hat u_i=\sum_i x_i\hat u_i-\bar x\sum_i\hat u_i=0}。

(1-2)​

第一の正規方程式より α^=yˉ−β^xˉ\hat\alpha=\bar y-\hat\beta\bar x。したがって yi−yˉ=β^(xi−xˉ)+u^iy_i-\bar y=\hat\beta(x_i-\bar x)+\hat u_i。二乗和を取ると交差項が (1-1) によりゼロになるので、

∑i(yi−yˉ)2=β^2∑i(xi−xˉ)2+∑iu^i2.\boxed{\sum_i(y_i-\bar y)^2=\hat\beta^2\sum_i(x_i-\bar x)^2+\sum_i\hat u_i^2}.

(1-3)​

SST=∑i(yi−yˉ)2>0\mathrm{SST}=\sum_i(y_i-\bar y)^2>0 の場合を考える。両平方和は非負なので、0≤SSE≤SST0\le\mathrm{SSE}\le\mathrm{SST}。したがって 0≤1−SSE/SST≤1\boxed{0\le1-\mathrm{SSE}/\mathrm{SST}\le1}。SST=0\mathrm{SST}=0 では設問の比自体が定義されない。

(1-4)​

無切片モデルの正規方程式は ∑ixiu^i′=0\sum_i x_i\hat u_i'=0 のみで、残差和は一般にはゼロでない。したがって

∑i(xi−xˉ)u^i′=−xˉ∑iu^i′\sum_i(x_i-\bar x)\hat u_i'=-\bar x\sum_i\hat u_i'

は必ずしもゼロでない。

以後の反例として x=(1,2)\boldsymbol x=(1,2)、y=(2,1)\boldsymbol y=(2,1) を取る。β^′=∑xiyi/∑xi2=4/5\hat\beta'=\sum x_iy_i/\sum x_i^2=4/5、残差は (6/5,−3/5)(6/5,-3/5)。中心化した xx と残差の内積は (−1/2)(6/5)+(1/2)(−3/5)=−9/10≠0(-1/2)(6/5)+(1/2)(-3/5)=-9/10\ne0。

(1-5)​

無切片回帰で成立する非中心化の分解は、

∑iyi2=(β^′)2∑ixi2+∑i(u^i′)2.\sum_i y_i^2=(\hat\beta')^2\sum_i x_i^2+\sum_i(\hat u_i')^2.

両辺を中心化すると、設問の右辺と左辺の差は n{yˉ2−(β^′)2xˉ2}n\{\bar y^2-(\hat\beta')^2\bar x^2\} となり、一般にはゼロでない。上の反例では、

SST=12,(β^′)2∑i(xi−xˉ)2+SSE=162512+95=5325≠12.\begin{gathered} \mathrm{SST}=\frac12,\\ (\hat\beta')^2\sum_i(x_i-\bar x)^2+\mathrm{SSE} =\frac{16}{25}\frac12+\frac95=\frac{53}{25}\ne\frac12. \end{gathered}

よって必ずしも成立しない。

(1-6)​

SST>0\mathrm{SST}>0 なら SSE≥0\mathrm{SSE}\ge0 より上限 1−SSE/SST≤11-\mathrm{SSE}/\mathrm{SST}\le1 は成立する。一方、下限0は成立しないことがある。反例では

1−9/51/2=−135<0.\boxed{1-\frac{9/5}{1/2}=-\frac{13}{5}<0}.

無切片回帰は平均値のみのモデルを含むとは限らず、中心化した決定係数が負になり得る。

Reference​

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