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岡山大学 自然科学研究科 機械システム工学専攻 システム系 2022年8月実施 数学 問題2

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祭音Myyura (Based on miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

Description​

[2] 問い (1)～(2) に答えよ。

(1) R3\mathbb{R}^3 において、

a=(110),b=(22−1),c=(−1−11),d=(012)a=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix},\quad b=\begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix},\quad c=\begin{pmatrix}-1\\-1\\1\end{pmatrix},\quad d=\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}

とする。W1,W2W_1,W_2 を R3\mathbb{R}^3 の線形部分空間とし、W1W_1 は a,ba,b で生成される線形部分空間、W2W_2 は c,dc,d で生成される線形部分空間とする。このとき、W1∩W2W_1\cap W_2、および W1+W2W_1+W_2 の次元と一組の基底をそれぞれ求めよ。ただし、

W1+W2={x+y∈R3∣x∈W1, y∈W2}W_1+W_2=\{x+y\in\mathbb{R}^3\mid x\in W_1,\ y\in W_2\}

である。

(2) α\alpha を実数とし、

A=(α−21−13−11−2α)A=\begin{pmatrix}\alpha&-2&1\\-1&3&-1\\1&-2&\alpha\end{pmatrix}

とする。AA の固有値の一つが1であるとき、以下の小問 (i)–(ii) に答えよ。

(i) α\alpha の値を求めよ。

(ii) AA を対角化するための正則行列 PP を求め、それを用いて AA を対角化せよ。

题目描述​

[2] 回答 (1)～(2)。

(1) 在 R3\mathbb{R}^3 中，设

a=(110),b=(22−1),c=(−1−11),d=(012).a=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix},\quad b=\begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix},\quad c=\begin{pmatrix}-1\\-1\\1\end{pmatrix},\quad d=\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}.

设 W1,W2W_1,W_2 为 R3\mathbb{R}^3 的线性子空间，其中 W1W_1 由 a,ba,b 生成，W2W_2 由 c,dc,d 生成。分别求 W1∩W2W_1\cap W_2 与 W1+W2W_1+W_2 的维数及一组基。这里

W1+W2={x+y∈R3∣x∈W1, y∈W2}.W_1+W_2=\{x+y\in\mathbb{R}^3\mid x\in W_1,\ y\in W_2\}.

(2) 设 α\alpha 为实数，

A=(α−21−13−11−2α).A=\begin{pmatrix}\alpha&-2&1\\-1&3&-1\\1&-2&\alpha\end{pmatrix}.

已知 AA 的一个特征值为1，回答 (i)–(ii)。

(i) 求 α\alpha 的值。

(ii) 求使 AA 对角化的可逆矩阵 PP，并用它将 AA 对角化。

Kai​

(1)​

a,ba,b は一次独立であり、両者の第1成分と第2成分は等しい。したがって

W1={(x,y,z)T∈R3∣x=y}.W_1=\{(x,y,z)^T\in\mathbb R^3\mid x=y\}.

W2W_2 の任意のベクトルは sc+td=(−s,−s+t,s+2t)Tsc+td=(-s,-s+t,s+2t)^T と書ける。これが W1W_1 に属する条件は t=0t=0 なので、

dim⁡(W1∩W2)=1,基底 {c}.\boxed{\dim(W_1\cap W_2)=1,\qquad\text{基底 }\{c\}}.

一方、c=a−b∈W1c=a-b\in W_1、d∉W1d\notin W_1 である。よって

W1+W2=R3,dim⁡(W1+W2)=3,基底 {a,b,d}.\boxed{W_1+W_2=\mathbb R^3,\quad\dim(W_1+W_2)=3,\quad\text{基底 }\{a,b,d\}}.

(2)​

(i) 11 が固有値である条件は

0=det⁡(A−E)=∣α−1−21−12−11−2α−1∣=2(α−2)2.0=\det(A-E)=\begin{vmatrix}\alpha-1&-2&1\\-1&2&-1\\1&-2&\alpha-1\end{vmatrix} =2(\alpha-2)^2.

したがって α=2\boxed{\alpha=2} である。

(ii) このとき det⁡(λE−A)=(λ−1)2(λ−5)\det(\lambda E-A)=(\lambda-1)^2(\lambda-5) である。固有値 11 の固有空間は x−2y+z=0x-2y+z=0 で与えられるので、独立な固有ベクトルとして u1=(2,1,0)Tu_1=(2,1,0)^T、u2=(−1,0,1)Tu_2=(-1,0,1)^T をとれる。固有値 55 の固有ベクトルとして u3=(1,−1,1)Tu_3=(1,-1,1)^T をとる。

P=(u1 u2 u3)=(2−1110−1011),det⁡P=4≠0.\boxed{P=(u_1\ u_2\ u_3)=\begin{pmatrix}2&-1&1\\1&0&-1\\0&1&1\end{pmatrix}},\qquad \det P=4\ne0.

AP=Pdiag⁡(1,1,5)AP=P\operatorname{diag}(1,1,5) より

P−1AP=diag⁡(1,1,5).\boxed{P^{-1}AP=\operatorname{diag}(1,1,5)}.

Reference​

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