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岡山大学 自然科学研究科 機械システム工学専攻 システム系 2023年度 数学 問題1

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Author​

祭音Myyura (Based on miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

Description​

(1)​

次の極限値を求めよ。

(i)lim⁡x→0x−sin⁡xx3,(ii)lim⁡x→∞x(a1/x−1)(a>0),(iii)lim⁡x→+0(1x)x.\text{(i)}\quad\lim_{x\to0}\frac{x-\sin x}{x^3},\qquad \text{(ii)}\quad\lim_{x\to\infty}x(a^{1/x}-1)\quad(a>0),\qquad \text{(iii)}\quad\lim_{x\to+0}\left(\frac1x\right)^x.

(2)​

曲線 x=t−t3, y=1−t4x=t-t^3,\ y=1-t^4 によって囲まれた部分の面積を求めよ。

题目描述​

(1) 求三个极限：lim⁡x→0(x−sin⁡x)/x3\lim_{x\to0}(x-\sin x)/x^3；lim⁡x→∞x(a1/x−1)\lim_{x\to\infty}x(a^{1/x}-1)（a>0a>0）；lim⁡x→0+(1/x)x\lim_{x\to0+}(1/x)^x。

(2) 求参数曲线 x=t−t3, y=1−t4x=t-t^3,\ y=1-t^4 所围区域的面积。

Kai​

(1)​

(i) sin⁡x=x−x3/6+O(x5)\sin x=x-x^3/6+O(x^5) より

lim⁡x→0x−sin⁡xx3=16.\boxed{\lim_{x\to0}\frac{x-\sin x}{x^3}=\frac16}.

(ii) a1/x=exp⁡((log⁡a)/x)=1+(log⁡a)/x+O(x−2)a^{1/x}=\exp((\log a)/x)=1+(\log a)/x+O(x^{-2}) なので、

lim⁡x→∞x(a1/x−1)=log⁡a.\boxed{\lim_{x\to\infty}x(a^{1/x}-1)=\log a}.

(iii) 対数をとると log⁡((1/x)x)=−xlog⁡x→0\log((1/x)^x)=-x\log x\to0（x→0+x\to0+）である。指数関数の連続性より

lim⁡x→0+(1/x)x=1.\boxed{\lim_{x\to0+}(1/x)^x=1}.

(2)​

x(−t)=−x(t)x(-t)=-x(t)、y(−t)=y(t)y(-t)=y(t) より曲線は yy 軸に関して対称である。t=±1t=\pm1 でともに原点を通り、−1≤t≤1-1\le t\le1 の部分が閉じたループをなす。∣t∣>1|t|>1 では y<0y<0 となり、新たな閉領域は生じない。

右半分は 0≤t≤10\le t\le1 で表され、x=t−t3≥0x=t-t^3\ge0、yy は 11 から 00 へ単調に減少する。したがって面積は

S=2∫01x(y) dy=−2∫01(t−t3)dydt dt=8∫01(t4−t6) dt=8(15−17)=1635.\begin{aligned} S&=2\int_0^1x(y)\,dy =-2\int_0^1(t-t^3)\frac{dy}{dt}\,dt\\ &=8\int_0^1(t^4-t^6)\,dt =8\left(\frac15-\frac17\right) =\boxed{\frac{16}{35}}. \end{aligned}

Reference​

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