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岡山大学 自然科学研究科 機械システム工学専攻 機械系 2023年度 数学 問題4

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Author​

祭音Myyura (Based on miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

Description​

以下の問いに答えよ。ただし abc≠0abc\ne0 とする。

  1. 次の行列の階数を求めよ。
A=(0−a−ca0−bcb0).A=\begin{pmatrix}0&-a&-c\\a&0&-b\\c&b&0\end{pmatrix}.
  1. 次の連立一次方程式の解が存在するかどうか判定し、解が存在する場合には解の自由度を求めよ。
{−ax2−cx3=a−c,ax1−bx3=a−b,cx1+bx2=c−b.\begin{cases}-ax_2-cx_3=a-c,\\ax_1-bx_3=a-b,\\cx_1+bx_2=c-b.\end{cases}

题目描述​

设 abc≠0abc\ne0。求上述矩阵 AA 的秩；判断上述线性方程组何时有解，并在有解时求解的自由度。

Kai​

(1)​

AA は3次の交代行列であり、AT=−AA^T=-A より det⁡A=−det⁡A=0\det A=-\det A=0 である。一方、左上の2次小行列式は a2≠0a^2\ne0 なので、

rank⁡A=2.\boxed{\operatorname{rank}A=2}.

(2)​

右辺を r=(a−c,a−b,c−b)Tr=(a-c,a-b,c-b)^T とする。v=(b,−c,a)Tv=(b,-c,a)^T は vTA=0v^TA=0 を満たし、

vTr=b(a−c)−c(a−b)+a(c−b)=0v^Tr=b(a-c)-c(a-b)+a(c-b)=0

は恒等的に成立する。したがって右辺は常に AA の列空間に属する。

実際、x3=tx_3=t とおけば第1、第2式から

x1=a−ba+bat,x2=c−aa−catx_1=\frac{a-b}{a}+\frac ba t,\qquad x_2=\frac{c-a}{a}-\frac ca t

となり、第3式の左辺は

cx1+bx2=c(a−b)+b(c−a)a=c−bcx_1+bx_2 =\frac{c(a-b)+b(c-a)}a=c-b

である。よって任意の tt に対して全3式を満たす。結論は

abc≠0 を満たすすべての場合に解が存在し、その自由度は 1.\boxed{abc\ne0\text{ を満たすすべての場合に解が存在し、その自由度は }1}.

Reference​

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