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岡山大学 自然科学研究科 機械システム工学専攻 機械系 2023年度 数学 問題3

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Author​

祭音Myyura (Based on miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

Description​

  1. 一周期の区間で次のように定義される周期 2π2\pi の関数のフーリエ級数展開式を求めよ。
f(t)={0(−π<t≤0),sin⁡t(0<t≤π).f(t)=\begin{cases}0&(-\pi<t\le0),\\\sin t&(0<t\le\pi).\end{cases}
  1. 次の値を求めよ。
∑n=1∞(−1)n4n2−1.\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{4n^2-1}.

题目描述​

  1. 求周期为 2π2\pi 的函数 ff 的傅里叶级数。在一周期中，−π<t≤0-\pi<t\le0 时 f(t)=0f(t)=0，0<t≤π0<t\le\pi 时 f(t)=sin⁡tf(t)=\sin t。
  2. 求级数 ∑n=1∞(−1)n/(4n2−1)\sum_{n=1}^\infty(-1)^n/(4n^2-1) 的和。

Kai​

(1)​

実フーリエ級数を f(t)=a0/2+∑n≥1(ancos⁡nt+bnsin⁡nt)f(t)=a_0/2+\sum_{n\ge1}(a_n\cos nt+b_n\sin nt) とする。定数項は

a0=1π∫0πsin⁡t dt=2π.a_0=\frac1\pi\int_0^\pi\sin t\,dt=\frac2\pi.

正弦関数の直交性より

bn=1π∫0πsin⁡tsin⁡nt dt={1/2(n=1),0(n≥2).b_n=\frac1\pi\int_0^\pi\sin t\sin nt\,dt =\begin{cases}1/2&(n=1),\\0&(n\ge2).\end{cases}

余弦係数について、n=1n=1 では a1=0a_1=0 である。n≠1n\ne1 では積和公式を用いて

an=12π∫0π[sin⁡((n+1)t)+sin⁡((1−n)t)] dt=1+(−1)nπ(1−n2).\begin{aligned} a_n&=\frac1{2\pi}\int_0^\pi[\sin((n+1)t)+\sin((1-n)t)]\,dt\\ &=\frac{1+(-1)^n}{\pi(1-n^2)}. \end{aligned}

したがって奇数 nn で an=0a_n=0、偶数 n=2mn=2m で a2m=−2/[π(4m2−1)]a_{2m}=-2/[\pi(4m^2-1)] であり、

f(t)=1π+12sin⁡t−2π∑m=1∞cos⁡2mt4m2−1.\boxed{f(t)=\frac1\pi+\frac12\sin t -\frac2\pi\sum_{m=1}^\infty\frac{\cos2mt}{4m^2-1}}.

ff の周期延長は連続かつ区分的に滑らかなので、この級数はすべての tt で f(t)f(t) に収束する。

(2)​

t=π/2t=\pi/2 を代入すると、

1=1π+12−2π∑m=1∞(−1)m4m2−1.1=\frac1\pi+\frac12-\frac2\pi\sum_{m=1}^\infty\frac{(-1)^m}{4m^2-1}.

これを整理して

∑n=1∞(−1)n4n2−1=2−π4.\boxed{\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{4n^2-1}=\frac{2-\pi}4}.

Reference​

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