岡山大学自然科学研究科機械システム工学専攻機械系 2022年8月実施数学問題3

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祭音Myyura (Based on miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

【3】以下の問いに答えよ。

(1) 一周期の区間で、次式で定義される周期関数のフーリエ級数展開式を求めよ。

f(t)=\begin{cases}0&-\pi<t\le0,\\\sin t&0<t\le\pi.\end{cases}

(2) 次の値を求めよ。

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{4n^2-1}

【3】回答以下问题。

(1) 一个周期函数在一个周期内由下式定义，求其傅里叶级数展开式。

f(t)=\begin{cases}0&-\pi<t\le0,\\\sin t&0<t\le\pi.\end{cases}

(2) 求下列级数的值。

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{4n^2-1}

実フーリエ級数を $f(t)=a_0/2+\sum_{n\ge1}(a_n\cos nt+b_n\sin nt)$ とする。定数項は

a_0=\frac1\pi\int_0^\pi\sin t\,dt=\frac2\pi.

正弦関数の直交性より

b_n=\frac1\pi\int_0^\pi\sin t\sin nt\,dt =\begin{cases}1/2&(n=1),\\0&(n\ge2).\end{cases}

余弦係数について、 $n=1$ では $a_1=0$ である。 $n\ne1$ では積和公式を用いて

\begin{aligned} a_n&=\frac1{2\pi}\int_0^\pi[\sin((n+1)t)+\sin((1-n)t)]\,dt\\ &=\frac{1+(-1)^n}{\pi(1-n^2)}. \end{aligned}

したがって奇数 $n$ で $a_n=0$ 、偶数 $n=2m$ で $a_{2m}=-2/[\pi(4m^2-1)]$ であり、

\boxed{f(t)=\frac1\pi+\frac12\sin t -\frac2\pi\sum_{m=1}^\infty\frac{\cos2mt}{4m^2-1}}.

$f$ の周期延長は連続かつ区分的に滑らかなので、この級数はすべての $t$ で $f(t)$ に収束する。

$t=\pi/2$ を代入すると、

1=\frac1\pi+\frac12-\frac2\pi\sum_{m=1}^\infty\frac{(-1)^m}{4m^2-1}.

これを整理して

\boxed{\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{4n^2-1}=\frac{2-\pi}4}.