岡山大学自然科学研究科機械システム工学専攻機械系 2023年度数学問題2

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祭音Myyura (Based on miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

次の微分方程式の一般解を求めよ。

分别求 $y''-6y'+9y=0$ 和 $y''-6y'+9y=e^{3x}$ 的通解。

$y=e^{3x}u$ とおくと

y'=e^{3x}(u'+3u),\qquad y''=e^{3x}(u''+6u'+9u)

なので、 $y''-6y'+9y=e^{3x}u''$ となる。したがって $u''=0$ 、すなわち $u=C_1+C_2x$ より

\boxed{y=(C_1+C_2x)e^{3x}}.

同じ置換によって $e^{3x}u''=e^{3x}$ 、すなわち $u''=1$ となる。2回積分して

u=\frac{x^2}2+C_1+C_2x

を得るから、一般解は

\boxed{y=\left(C_1+C_2x+\frac{x^2}2\right)e^{3x}}.

いずれも $C_1,C_2$ は任意定数である。