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岡山大学 自然科学研究科 機械システム工学専攻 機械系 2022年8月実施 数学 問題1

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Author​

祭音Myyura (Based on miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

Description​

【1】次の広義積分を求めよ。ただし導出過程も示せ。

∫01log⁡xx dx\int_0^1\frac{\log x}{\sqrt{x}}\,dx

题目描述​

【1】求下列广义积分，并给出推导过程。

∫01log⁡xx dx\int_0^1\frac{\log x}{\sqrt{x}}\,dx

Kai​

u=xu=\sqrt x、x=u2x=u^2 と置換する。下端を ε>0\varepsilon>0 として計算すると、

∫ε1log⁡xx dx=4∫ε1log⁡u du=4[ulog⁡u−u]ε1=−4−4εlog⁡ε+4ε.\begin{aligned} \int_\varepsilon^1\frac{\log x}{\sqrt x}\,dx &=4\int_{\sqrt\varepsilon}^1\log u\,du\\ &=4[u\log u-u]_{\sqrt\varepsilon}^1\\ &=-4-4\sqrt\varepsilon\log\sqrt\varepsilon+4\sqrt\varepsilon. \end{aligned}

lim⁡u→0+ulog⁡u=0\lim_{u\to0+}u\log u=0 より、この極限は有限である。したがって広義積分は収束し、

∫01log⁡xx dx=−4.\boxed{\int_0^1\frac{\log x}{\sqrt x}\,dx=-4}.

Reference​

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