岡山大学 自然科学研究科 数理物理科学専攻 数学系 2022年8月実施 数学 問題B-3

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• 冈山大学
• 可分离变量的常微分方程
• 通过变量代换求解一阶常微分方程

Author

祭音Myyura (Based on miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

以下の問いに答えよ。

(1) 微分方程式

$$\frac{dy}{dx}=\frac{4y}{3x},\qquad x>0$$

の一般解を求めよ。

(2) 微分方程式の初期値問題

$$\begin{cases} \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2y}{3x}+\dfrac{2x}{y},&x>0,\\ y(1)=3 \end{cases}$$

の解 $y=y(x)$ を求めよ。ただし、変換 $z=y^2$ を用いてもよい。

题目描述

回答以下问题。

(1) 求微分方程

$$\frac{dy}{dx}=\frac{4y}{3x},\qquad x>0$$

的通解。

(2) 求微分方程初值问题

$$\begin{cases} \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2y}{3x}+\dfrac{2x}{y},&x>0,\\ y(1)=3 \end{cases}$$

的解 $y=y(x)$。可以使用代换 $z=y^2$。

Kai

(1)

$y\ne0$ の区間で変数を分離すると $dy/y=(4/3)dx/x$ となり、積分して $y=Cx^{4/3}$ を得る。零解も $C=0$ として含まれるので、一般解は

$$\boxed{y=Cx^{4/3}\quad(x>0)}.$$

(2)

$z=y^2$ とおくと

$$z'=2yy'=\frac4{3x}z+4x.$$

積分因子 $x^{-4/3}$ を用いると、

$$\begin{gathered} \frac d{dx}(x^{-4/3}z)=4x^{-1/3},\\ x^{-4/3}z=6x^{2/3}+C. \end{gathered}$$

したがって $z=6x^2+Cx^{4/3}$ である。$z(1)=9$ より $C=3$ を得る。$6x^2+3x^{4/3}>0$（$x>0$）であり、初期値が正なので、連続な解は正の枝をとる。

$$\boxed{y(x)=\sqrt{6x^2+3x^{4/3}}\quad(x>0)}.$$

Reference

• 大学公式問題（2022年8月実施、PDF 5ページ）
• miyake：対応する解答