お茶の水女子大学 人間文化創成科学研究科 理学専攻 数学コース 2018年8月実施 問題2

标签：

• Ochanomizu-University
• Matrix-Determinant
• Invariant-Subspace-and-Restricted-Operator
• Eigenvalues-and-Eigenvectors

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

(1)

1. $n$ 次複素正方行列 $A=(a_{ij})$ の行列式 $\det A$ の定義を述べよ。
2. 次の行列の行列式を求め、計算方法も説明せよ。ただし $a,b,c,d,e,f\in\mathbb C$ とする。

$$A=\begin{pmatrix} 0&0&a&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&b\\ 0&c&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&d&0\\ e&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&f&0&0 \end{pmatrix}.$$

(2)

$M_3(\mathbb R)$ を $3$ 次実正方行列全体のベクトル空間とし、

$$S=\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}, \qquad V=\{X\in M_3(\mathbb R)\mid X^{\mathsf T}S+SX=0\}$$

とおく。

1. $V$ の基底と次元を求めよ。
2. $H=\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}$ とし、$T(X)=HX-XH$ と定める。$X\in V$ ならば $T(X)\in V$ であることを示せ。
3. $T$ の $V$ への制限を $\widetilde T$ とする。$\widetilde T$ の固有値と各固有空間を求めよ。

题目描述

1. 写出行列式的排列定义，并计算一个每行每列仅含一个非零元的六阶行列式。
2. 求满足 $X^{\mathsf T}S+SX=0$ 的矩阵空间的基与维数；证明交换子映射 $T(X)=HX-XH$ 保持该空间，并求限制映射的特征值与特征空间。

Kai

(1)

1.

$S_n$ を $\{1,\ldots,n\}$ の置換全体とすると、

$$\boxed{ \det A=\sum_{\sigma\in S_n} \operatorname{sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^n a_{i,\sigma(i)} }$$

である。

2.

零でない積を与える置換は

$$(\sigma(1),\ldots,\sigma(6))=(3,6,2,5,1,4)$$

だけである。この列の転倒数は $9$ なので符号は $-1$ である。したがって

$$\boxed{\det A=-abcdef}.$$

(2)

1.

$X=(x_{ij})$ とおく。$X^{\mathsf T}S+SX=0$ を成分ごとに解くと、

$$X=\begin{pmatrix} 0&p&q\\ p&0&r\\ q&-r&0 \end{pmatrix} \qquad(p,q,r\in\mathbb R)$$

を得る。よって

$$B_1=\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix},\quad B_2=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix},\quad B_3=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&-1&0\end{pmatrix}$$

は $V$ の基底であり、

$$\boxed{\dim V=3}.$$

2.

$X=pB_1+qB_2+rB_3$ に対して直接計算すると、

$$T(X)=HX-XH =\begin{pmatrix} 0&0&r\\ 0&0&q\\ r&-q&0 \end{pmatrix} =rB_2+qB_3\in V.$$

したがって $T(V)\subset V$ である。

3.

基底 $(B_1,B_2,B_3)$ に関する $\widetilde T$ の表現行列は

$$[\widetilde T]_B= \begin{pmatrix} 0&0&0\\ 0&0&1\\ 0&1&0 \end{pmatrix}.$$

よって固有値と固有空間は

$$\begin{array}{c|c} \lambda&\operatorname{Ker}(\widetilde T-\lambda I)\\ \hline 0&\operatorname{span}\{B_1\}\\ 1&\operatorname{span}\{B_2+B_3\}\\ -1&\operatorname{span}\{B_2-B_3\} \end{array}$$

である。