跳到主要内容

お茶の水女子大学 人間文化創成科学研究科 理学専攻 数学コース 2018年8月実施 問題1

标签：

Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description​

a<ba<b とし、[a,b]×[0,∞)[a,b]\times[0,\infty) 上の連続関数

f:[a,b]×[0,∞)⟶Rf:[a,b]\times[0,\infty)\longrightarrow\mathbb R

を考える。広義積分 ∫0∞f(x,y) dy\int_0^\infty f(x,y)\,dy は [a,b][a,b] 上で一様収束するとする。すなわち、任意の ε>0\varepsilon>0 に対してある M>0M>0 が存在し、d>Md>M と a≤x≤ba\le x\le b を満たす任意の d,xd,x について

∣∫d∞f(x,y) dy∣<ε\left|\int_d^\infty f(x,y)\,dy\right|<\varepsilon

が成り立つものとする。

  1. x⟼∫0∞f(x,y) dy\displaystyle x\longmapsto\int_0^\infty f(x,y)\,dy が [a,b][a,b] 上で連続であることを示せ。
  2. 次式を証明せよ。
lim⁡t→∞∫0t(∫abf(x,y) dx)dy=∫ab(∫0∞f(x,y) dy)dx.\lim_{t\to\infty}\int_0^t\left(\int_a^b f(x,y)\,dx\right)dy =\int_a^b\left(\int_0^\infty f(x,y)\,dy\right)dx.

题目描述​

设 ff 在 [a,b]×[0,∞)[a,b]\times[0,\infty) 上连续，且关于 yy 的反常积分在 x∈[a,b]x\in[a,b] 上一致收敛。证明该积分关于 xx 连续，并证明可交换有限区间上的 xx 积分与 t→∞t\to\infty 的极限。

Kai​

t>0t>0 に対して

Ft(x)=∫0tf(x,y) dy,F(x)=∫0∞f(x,y) dyF_t(x)=\int_0^t f(x,y)\,dy, \qquad F(x)=\int_0^\infty f(x,y)\,dy

とおく。

(1)​

ff はコンパクト集合 [a,b]×[0,t][a,b]\times[0,t] 上で連続であるから、FtF_t は [a,b][a,b] 上で連続である。また、仮定より

sup⁡x∈[a,b]∣F(x)−Ft(x)∣=sup⁡x∈[a,b]∣∫t∞f(x,y) dy∣⟶0\sup_{x\in[a,b]}|F(x)-F_t(x)| =\sup_{x\in[a,b]} \left|\int_t^\infty f(x,y)\,dy\right| \longrightarrow0

である。したがって FtF_t は FF に一様収束する。連続関数列の一様極限は連続なので、FF は [a,b][a,b] 上で連続である。

(2)​

有限長方形 [a,b]×[0,t][a,b]\times[0,t] 上では ff が連続であるため、積分順序を交換でき、

∫0t(∫abf(x,y) dx)dy=∫abFt(x) dx\int_0^t\left(\int_a^b f(x,y)\,dx\right)dy =\int_a^b F_t(x)\,dx

である。一様収束より

∣∫abFt(x) dx−∫abF(x) dx∣≤(b−a)sup⁡x∈[a,b]∣Ft(x)−F(x)∣⟶0.\left| \int_a^b F_t(x)\,dx- \int_a^b F(x)\,dx \right| \le(b-a)\sup_{x\in[a,b]}|F_t(x)-F(x)| \longrightarrow0.

よって

lim⁡t→∞∫0t(∫abf(x,y) dx)dy=∫ab(∫0∞f(x,y) dy)dx.\boxed{ \lim_{t\to\infty}\int_0^t\left(\int_a^b f(x,y)\,dx\right)dy =\int_a^b\left(\int_0^\infty f(x,y)\,dy\right)dx }.
本页目录