お茶の水女子大学人間文化創成科学研究科理学専攻数学コース 2018年2月実施問題1

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祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

$\mathbb R^2$ 上で定義された関数 $f(x,y)$ を

f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{xy}{x^2+|y|},&(x,y)\ne(0,0),\\[2mm] 0,&(x,y)=(0,0) \end{cases}

で定義する。このとき $f$ の原点 $(0,0)$ における全微分可能性を調べよ。

$a,b$ を $b>a$ となる定数とし、 $g(x)$ を有界閉区間 $[a,b]$ で連続な実数値関数とする。関数 $g$ が下に凸な関数であるとき、 $a\le x-h<x+h\le b$ を満たす任意の $x\in(a,b)$ と任意の $h>0$ に対して

g(x)\le\frac1{2h}\int_{x-h}^{x+h}g(t)\,dt

が成り立つことを示せ。

$p(x)$ を $[0,\infty)$ で単調増加で連続な実数値関数とし、 $P(x)$ を $(0,\infty)$ で

P(x)=\frac1x\int_0^x p(t)\,dt

と定義する。このとき $P(x)$ は単調増加な関数であることを示せ。

判断 $f(x,y)=xy/(x^2+|y|)$ （原点定义为 $0$ ）在原点是否全微分。
证明下凸函数在对称区间上的平均值不小于中心点函数值。
若连续函数 $p$ 单调递增，证明其区间平均

$P(x)=\frac1x\int_0^x p(t)\,dt$

也单调不减；若 $p$ 严格递增，则 $P$ 也严格递增。

座標軸上では $f(x,0)=f(0,y)=0$ だから、

f_x(0,0)=f_y(0,0)=0.

したがって、全微分可能なら全微分は零写像でなければならない。一方、 $y=x^2$ とおくと

f(x,x^2)=\frac{x^3}{x^2+x^2}=\frac x2

であり、

\frac{|f(x,x^2)|}{\sqrt{x^2+x^4}} =\frac1{2\sqrt{1+x^2}}\longrightarrow\frac12\ne0.

よって

\boxed{f\text{ は原点で全微分可能でない。}}

$0\le t\le h$ とする。 $x$ は $x-t$ と $x+t$ の中点であるから、凸性より

g(x)\le\frac{g(x-t)+g(x+t)}2.

これを $0\le t\le h$ で積分すると

\begin{aligned} h\,g(x) &\le\frac12\int_0^h\{g(x-t)+g(x+t)\}\,dt\\ &=\frac12\int_{x-h}^{x+h}g(u)\,du. \end{aligned}

$h>0$ で割れば

\boxed{g(x)\le\frac1{2h}\int_{x-h}^{x+h}g(u)\,du}.

積分の微分により、 $x>0$ で

\begin{aligned} P'(x) &=\frac{x\,p(x)-\int_0^x p(t)\,dt}{x^2}\\ &=\frac1{x^2}\int_0^x\{p(x)-p(t)\}\,dt. \end{aligned}

$0\le t<x$ なら $p(t)\le p(x)$ だから $P'(x)\ge0$ である（狭義単調増加なら $P'(x)>0$ ）。したがって

\boxed{P(x)\text{ は }(0,\infty)\text{ で単調増加である。}}