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お茶の水女子大学 人間文化創成科学研究科 理学専攻 数学コース 2017年2月実施 問題2

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description​

33 次実正方行列全体の集合 M3(R)M_3(\mathbb{R}) を通常の行列の和、実数倍について実ベクトル空間とみなす。M3(R)M_3(\mathbb{R}) の部分集合 V,WV,W を次で定める。

V={X∈M3(R)∣tX=X},W={X∈M3(R)∣tX=−X}.V=\{X\in M_3(\mathbb{R})\mid {}^tX=X\}, \qquad W=\{X\in M_3(\mathbb{R})\mid {}^tX=-X\}.

ここで、tX{}^tX は XX の転置行列を表す。33 次実正方行列 AA を

A=(1000−10000)A=\begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&-1&0\\ 0&0&0 \end{pmatrix}

と定める。この AA に対し、写像 T:M3(R)→M3(R)T:M_3(\mathbb{R})\to M_3(\mathbb{R}) を

T(X)=AX−XAT(X)=AX-XA

で定義する。このとき次の問に答えよ。

  1. V,WV,W はそれぞれ M3(R)M_3(\mathbb{R}) の線形部分空間であることを示せ。
  2. M3(R)M_3(\mathbb{R}) は V,WV,W の直和空間になることを示せ。すなわち、任意の Z∈M3(R)Z\in M_3(\mathbb{R}) は X∈VX\in V と Y∈WY\in W の和 X+YX+Y として一意的に表せることを示せ。
  3. TT は M3(R)M_3(\mathbb{R}) から M3(R)M_3(\mathbb{R}) への線形写像であることを示せ。
  4. TT の核空間 Ker⁡T={X∈M3(R)∣T(X)=0}\operatorname{Ker}T=\{X\in M_3(\mathbb{R})\mid T(X)=0\} の基底と次元を求めよ。
  5. T(V)⊂WT(V)\subset W, T(W)⊂VT(W)\subset V が成立することを示せ。
  6. (5) によって T2=T∘TT^2=T\circ T は VV を不変にする。T2T^2 を VV に制限して得られる VV の線形変換を SS と表す。SS の固有値が 0,1,40,1,4 であることを示し、それぞれの固有値に属する固有空間 V(0),V(1),V(4)V(0),V(1),V(4) を求めよ。

题目描述​

令 V,WV,W 分别为 33 阶实对称矩阵和实反对称矩阵构成的集合，A=diag⁡(1,−1,0)A=\operatorname{diag}(1,-1,0)，并定义 T(X)=AX−XAT(X)=AX-XA。

  1. 证明 V,WV,W 都是线性子空间。
  2. 证明 M3(R)=V⊕WM_3(\mathbb R)=V\oplus W。
  3. 证明 TT 是线性映射。
  4. 求 ker⁡T\ker T 的一组基和维数。
  5. 证明 T(V)⊂WT(V)\subset W、T(W)⊂VT(W)\subset V。
  6. 对 S=T2∣VS=T^2|_V，证明其特征值为 0,1,40,1,4，并求相应特征空间。

Kai​

EijE_{ij} を第 (i,j)(i,j) 成分だけが 11 である行列とする。

(1)​

X,Y∈VX,Y\in V, a,b∈Ra,b\in\mathbb{R} に対して

t(aX+bY)=a tX+b tY=aX+bY{}^t(aX+bY)=a\,{}^tX+b\,{}^tY=aX+bY

であり、零行列も VV に属する。よって VV は線形部分空間である。同様に X,Y∈WX,Y\in W なら

t(aX+bY)=a(−X)+b(−Y)=−(aX+bY),{}^t(aX+bY)=a(-X)+b(-Y)=-(aX+bY),

したがって WW も線形部分空間である。

(2)​

任意の Z∈M3(R)Z\in M_3(\mathbb{R}) に対して

X=Z+tZ2,Y=Z−tZ2X=\frac{Z+{}^tZ}{2}, \qquad Y=\frac{Z-{}^tZ}{2}

とおけば、X∈VX\in V, Y∈WY\in W かつ Z=X+YZ=X+Y である。また、Q∈V∩WQ\in V\cap W なら tQ=Q=−Q{}^tQ=Q=-Q より Q=0Q=0 である。ゆえに分解は一意で、

M3(R)=V⊕W\boxed{M_3(\mathbb{R})=V\oplus W}

となる。

(3)​

X,Y∈M3(R)X,Y\in M_3(\mathbb{R}), a,b∈Ra,b\in\mathbb{R} に対して

T(aX+bY)=A(aX+bY)−(aX+bY)A=aT(X)+bT(Y).T(aX+bY)=A(aX+bY)-(aX+bY)A=aT(X)+bT(Y).

よって TT は線形写像である。

(4)​

X=(xij)X=(x_{ij}) とし、AA の対角成分を λ1=1\lambda_1=1, λ2=−1\lambda_2=-1, λ3=0\lambda_3=0 とおくと、

(T(X))ij=(λi−λj)xij.(T(X))_{ij}=(\lambda_i-\lambda_j)x_{ij}.

λ1,λ2,λ3\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3 は相異なるので、T(X)=0T(X)=0 なら i≠ji\ne j に対して xij=0x_{ij}=0 である。したがって

Ker⁡T={(a000b000c)|a,b,c∈R},\operatorname{Ker}T =\left\{\begin{pmatrix}a&0&0\\0&b&0\\0&0&c\end{pmatrix} \middle|a,b,c\in\mathbb{R}\right\},

ゆえに

基底 {E11,E22,E33},dim⁡Ker⁡T=3\boxed{\text{基底 }\{E_{11},E_{22},E_{33}\},\qquad \dim\operatorname{Ker}T=3}

である。

(5)​

AA は対称行列である。X∈VX\in V なら

tT(X)=t(AX−XA)=XA−AX=−T(X),{}^tT(X)={}^t(AX-XA)=XA-AX=-T(X),

よって T(X)∈WT(X)\in W である。一方、Y∈WY\in W なら

tT(Y)=t(AY−YA)=(−Y)A−A(−Y)=AY−YA=T(Y),{}^tT(Y)={}^t(AY-YA)=(-Y)A-A(-Y)=AY-YA=T(Y),

よって T(Y)∈VT(Y)\in V である。

(6)​

i<ji<j に対して Fij=Eij+Eji∈VF_{ij}=E_{ij}+E_{ji}\in V とおく。(4) の計算から

T2(Fij)=(λi−λj)2Fij,T2(Eii)=0.T^2(F_{ij})=(\lambda_i-\lambda_j)^2F_{ij}, \qquad T^2(E_{ii})=0.

ここで

(λ1−λ2)2=4,(λ1−λ3)2=(λ2−λ3)2=1.(\lambda_1-\lambda_2)^2=4, \qquad (\lambda_1-\lambda_3)^2=(\lambda_2-\lambda_3)^2=1.

したがって

V(0)=span⁡{E11,E22,E33},V(1)=span⁡{E13+E31, E23+E32},V(4)=span⁡{E12+E21}.\boxed{ \begin{aligned} V(0)&=\operatorname{span}\{E_{11},E_{22},E_{33}\},\\ V(1)&=\operatorname{span}\{E_{13}+E_{31},\ E_{23}+E_{32}\},\\ V(4)&=\operatorname{span}\{E_{12}+E_{21}\}. \end{aligned}}

各空間の次元の和は 3+2+1=6=dim⁡V3+2+1=6=\dim V であるから、これらで VV 全体を尽くす。

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