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お茶の水女子大学 人間文化創成科学研究科 理学専攻 数学コース 2017年2月実施 問題1

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description​

実変数 xx についての C2C^2 級関数 f(x)f(x) に対する操作

Lxf(x)=f′′(x)−xf′(x)L_xf(x)=f''(x)-xf'(x)

を考える。

(1)​

関数

g(s,x)=esx−s22g(s,x)=e^{sx-\frac{s^2}{2}}

について、

s∂g(s,x)∂s=−Lxg(s,x)(♠)s\frac{\partial g(s,x)}{\partial s}=-L_xg(s,x) \qquad (\spadesuit)

が成り立つことを示せ。

(2)​

g(s,x)g(s,x) の ss に関する 00 を中心とした Taylor 級数を

g(s,x)=∑k=0∞skk!Hk(x)g(s,x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{s^k}{k!}H_k(x)

とする。式 (♠)(\spadesuit) の両辺における sks^k の係数の比較から、

−LxHk(x)=kHk(x)-L_xH_k(x)=kH_k(x)

を導け。

(3)​

再び式 (♠)(\spadesuit) の両辺における sks^k の係数の比較から、k≥2k\geq 2 について

Hk(x)=xHk−1(x)−(k−1)Hk−2(x)H_k(x)=xH_{k-1}(x)-(k-1)H_{k-2}(x)

が成り立つことを示せ。

题目描述​

定义作用于实变量 xx 的 C2C^2 函数的算子 Lxf=f′′−xf′L_xf=f''-xf'，并令 g(s,x)=esx−s2/2g(s,x)=e^{sx-s^2/2}。

  1. 证明 s ∂g/∂s=−Lxgs\,\partial g/\partial s=-L_xg。
  2. 将 gg 按 ss 展开为 ∑k≥0skHk(x)/k!\sum_{k\geq0}s^kH_k(x)/k!，比较系数证明 −LxHk=kHk-L_xH_k=kH_k。
  3. 再次比较系数，证明 Hk=xHk−1−(k−1)Hk−2H_k=xH_{k-1}-(k-1)H_{k-2}。

Kai​

(1)​

g=g(s,x)g=g(s,x) と略記すると、

∂g∂s=(x−s)g,∂g∂x=sg,∂2g∂x2=s2g.\frac{\partial g}{\partial s}=(x-s)g, \qquad \frac{\partial g}{\partial x}=sg, \qquad \frac{\partial^2g}{\partial x^2}=s^2g.

したがって

Lxg=(s2−xs)g=−s(x−s)gL_xg=(s^2-xs)g=-s(x-s)g

であるから、

s∂g∂s=s(x−s)g=−Lxgs\frac{\partial g}{\partial s}=s(x-s)g=-L_xg

を得る。

(2)​

級数を項別に微分すると、

s∂g∂s=∑k=0∞skk! kHk(x),s\frac{\partial g}{\partial s} =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{s^k}{k!}\,kH_k(x),

一方、LxL_x は xx のみに作用するので、

−Lxg=∑k=0∞skk!{−LxHk(x)}.-L_xg =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{s^k}{k!}\{-L_xH_k(x)\}.

式 (♠)(\spadesuit) における sk/k!s^k/k! の係数を比較して、

−LxHk(x)=kHk(x)\boxed{-L_xH_k(x)=kH_k(x)}

を得る。

(3)​

(1) より

−Lxg=(xs−s2)g=(xs−s2)∑j=0∞sjj!Hj(x).-L_xg=(xs-s^2)g =(xs-s^2)\sum_{j=0}^{\infty}\frac{s^j}{j!}H_j(x).

k≥2k\geq2 とすると、右辺の sk/k!s^k/k! の係数は

kxHk−1(x)−k(k−1)Hk−2(x)kxH_{k-1}(x)-k(k-1)H_{k-2}(x)

である。(2) より左辺の同じ係数は kHk(x)kH_k(x) だから、kk で割って

Hk(x)=xHk−1(x)−(k−1)Hk−2(x)\boxed{H_k(x)=xH_{k-1}(x)-(k-1)H_{k-2}(x)}

を得る。なお、級数から H0(x)=1H_0(x)=1, H1(x)=xH_1(x)=x である。

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