お茶の水女子大学 人間文化創成科学研究科 理学専攻 数学コース 2016年8月実施 問題2

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• Matrix-Trace
• Orthogonal-Diagonalization-of-Symmetric-Matrices
• Linear-Operator-on-Polynomial-Space
• Jordan-Normal-Form

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

(1)

次を示せ。

(i)

$A$ を $(m,n)$ 行列、$B$ を $(n,m)$ 行列とすると、$\operatorname{Tr}AB=\operatorname{Tr}BA$ が成り立つ。

(ii)

$A$ を $n$ 次実対称行列とする。$A$ の $(i,j)$ 成分を $a_{ij}$（$i,j=1,\ldots,n$）で表し、$A$ の固有値を $\alpha_i$（$i=1,\ldots,n$）で表すと、

$$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_{ij}^2=\sum_{i=1}^n\alpha_i^2$$

が成り立つ。

(2)

$x$ について $2$ 次以下の実数係数多項式全体のなす線形空間を $V$ とする。写像 $T:V\to V$ を

$$T(f(x))=2xf'(x)+f(1-x)$$

によって定める。以下の問いに答えよ。

(i)

$T$ が $V$ の線形変換であることを示し、$V$ の基底 $1,x,x^2$ に関する $T$ の表現行列を求めよ。

(ii)

$T$ の固有多項式と固有値を求めよ。

(iii)

(i) で求めた行列の Jordan 標準形を求めよ。

(iv)

(iii) で求めた Jordan 標準形が $T$ の表現行列となるときの $V$ の基底を一組求めよ。

题目描述

1. 证明矩形矩阵的迹恒等式 $\operatorname{Tr}(AB)=\operatorname{Tr}(BA)$；并证明实对称矩阵所有元素的平方和等于所有特征值的平方和。

2. 在次数不超过 $2$ 的实系数多项式空间上定义

   $$T(f)(x)=2xf'(x)+f(1-x).$$

   证明 $T$ 线性，求其在基底 $1,x,x^2$ 下的矩阵、特征多项式与特征值、Jordan 标准形，以及使该 Jordan 标准形成为表示矩阵的一组基底。

Kai

(1)

(i)

$A=(a_{ij})$、$B=(b_{ji})$ とすれば

$$\operatorname{Tr}(AB) =\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n a_{ij}b_{ji} =\sum_{j=1}^n\sum_{i=1}^m b_{ji}a_{ij} =\operatorname{Tr}(BA).$$

(ii)

$A$ は実対称行列なので $A^T=A$ であり、ある直交行列 $Q$ により

$$Q^TAQ=\operatorname{diag}(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)$$

と対角化できる。したがって

$$\sum_{i,j=1}^n a_{ij}^2 =\operatorname{Tr}(A^TA) =\operatorname{Tr}(A^2) =\sum_{i=1}^n\alpha_i^2.$$

(2)

(i)

微分、変数置換および加法はいずれも線形であるから、$T$ は線形変換である。また

$$T(1)=1,\qquad T(x)=1+x,\qquad T(x^2)=1-2x+5x^2.$$

よって基底 $(1,x,x^2)$ に関する表現行列は

$$M=\boxed{ \begin{pmatrix} 1&1&1\\ 0&1&-2\\ 0&0&5 \end{pmatrix}}.$$

(ii)

$$\det(\lambda I-M)=(\lambda-1)^2(\lambda-5).$$

$\lambda=1$ の固有空間は $\langle1\rangle$、$\lambda=5$ の固有空間は $\langle8x^2-4x+1\rangle$ である。したがって

$$\boxed{ \lambda=1:\ 1,\qquad \lambda=5: 8x^2-4x+1 }$$

であり、それぞれの非零定数倍も固有多項式である。

(iii)

$\lambda=1$ の代数的重複度は $2$、幾何学的重複度は $1$ である。よって Jordan 標準形は

$$\boxed{ J=\begin{pmatrix} 1&1&0\\ 0&1&0\\ 0&0&5 \end{pmatrix}}.$$

(iv)

$$T(1)=1,\qquad T(x)=1+x,\qquad T(8x^2-4x+1)=5(8x^2-4x+1).$$

したがって、求める基底の一例は

$$\boxed{(1,\ x,\ 8x^2-4x+1)}.$$