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お茶の水女子大学 人間文化創成科学研究科 理学専攻 数学コース 2016年8月実施 問題1

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description​

(1)​

11 以上の整数 m,nm,n に対して R2\mathbb{R}^2 上の関数 fm,nf_{m,n} を

fm,n(x,y)=xmynx2+y2if (x,y)≠(0,0),fm,n(0,0)=0f_{m,n}(x,y)=\frac{x^m y^n}{x^2+y^2}\quad\text{if }(x,y)\ne(0,0), \qquad f_{m,n}(0,0)=0

で定義する。このとき、fm,nf_{m,n} の原点 (0,0)(0,0) における連続性、（全ての方向への）方向微分可能性、全微分可能性を調べよ。

(2)​

α\alpha を実数とする。R2\mathbb{R}^2 の部分集合

A={(x,y)∈R2∣x2+y2≥1, ∣x∣≤1, y>0}A=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x^2+y^2\ge 1,\ |x|\le 1,\ y>0\right\}

上の広義積分

∫Adx dyyα\int_A\frac{dx\,dy}{y^\alpha}

が収束する α\alpha の範囲を調べ、その範囲に含まれる全ての整数について広義積分の値を求めよ。

题目描述​

  1. 对正整数 m,nm,n，考察

    fm,n(x,y)={xmynx2+y2,(x,y)≠(0,0),0,(x,y)=(0,0)f_{m,n}(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x^m y^n}{x^2+y^2},&(x,y)\ne(0,0),\\ 0,&(x,y)=(0,0) \end{cases}

    在原点的连续性、所有方向的方向可微性以及全微分性。

  2. 对集合

    A={(x,y)∈R2∣x2+y2≥1,∣x∣≤1,y>0},A=\{(x,y)\in\mathbb R^2\mid x^2+y^2\ge1, |x|\le1, y>0\},

    求广义积分 ∫Ay−α dx dy\displaystyle\int_A y^{-\alpha}\,dx\,dy 收敛的 α\alpha 范围，并计算该范围内所有整数 α\alpha 对应的积分值。

Kai​

(1)​

r=x2+y2r=\sqrt{x^2+y^2} とおく。(x,y)≠(0,0)(x,y)\ne(0,0) では

∣fm,n(x,y)∣≤rm+nr2=rm+n−2.|f_{m,n}(x,y)| \le \frac{r^{m+n}}{r^2}=r^{m+n-2}.

したがって m+n>2m+n>2 なら原点で連続である。一方、m+n=2m+n=2 の場合は m=n=1m=n=1 であり、x=y=tx=y=t とすると f1,1(t,t)=1/2f_{1,1}(t,t)=1/2 だから連続でない。よって

原点で連続  ⟺  m+n≥3.\boxed{\text{原点で連続}\iff m+n\ge3}.

方向 v=(a,b)≠(0,0)v=(a,b)\ne(0,0) に対して

fm,n(ta,tb)−fm,n(0,0)t=tm+n−3ambna2+b2.\frac{f_{m,n}(ta,tb)-f_{m,n}(0,0)}{t} =t^{m+n-3}\frac{a^m b^n}{a^2+b^2}.

したがって、m+n=3m+n=3 では極限が ambn/(a2+b2)a^m b^n/(a^2+b^2)、m+n≥4m+n\ge4 では 00 となる。m+n=2m+n=2 では例えば v=(1,1)v=(1,1) に対して極限が存在しない。ゆえに

全ての方向に方向微分可能  ⟺  m+n≥3.\boxed{\text{全ての方向に方向微分可能}\iff m+n\ge3}.

また、座標軸上では関数値が常に 00 なので、全微分可能ならその微分は零写像である。m+n≥4m+n\ge4 のとき

∣fm,n(x,y)∣x2+y2≤rm+n−3⟶0,\frac{|f_{m,n}(x,y)|}{\sqrt{x^2+y^2}} \le r^{m+n-3}\longrightarrow0,

よって全微分可能である。m+n=3m+n=3 のときは x=y=tx=y=t とすれば

∣fm,n(t,t)∣2t2=122\frac{|f_{m,n}(t,t)|}{\sqrt{2t^2}}=\frac1{2\sqrt2}

となり、全微分可能でない。以上より

原点で全微分可能  ⟺  m+n≥4.\boxed{\text{原点で全微分可能}\iff m+n\ge4}.

(2)​

yy を固定して AA の水平方向の幅を求めると、0<y<10<y<1 では 2(1−1−y2)2(1-\sqrt{1-y^2})、y≥1y\ge1 では 22 である。したがって

Iα=2∫011−1−y2yα dy+2∫1∞y−α dy.I_\alpha =2\int_0^1\frac{1-\sqrt{1-y^2}}{y^\alpha}\,dy +2\int_1^\infty y^{-\alpha}\,dy.

y→0y\to0 で

1−1−y2=y21+1−y2∼y221-\sqrt{1-y^2} =\frac{y^2}{1+\sqrt{1-y^2}}\sim\frac{y^2}{2}

だから、第 11 項は α<3\alpha<3 のときに限り収束する。第 22 項は α>1\alpha>1 のときに限り収束する。よって

1<α<3.\boxed{1<\alpha<3}.

この範囲の整数は α=2\alpha=2 のみである。y=sin⁡θy=\sin\theta とおけば

I2=2∫011−1−y2y2 dy+2=2∫0π/2cos⁡θ1+cos⁡θ dθ+2=2(π2−1)+2=π.\begin{aligned} I_2 &=2\int_0^1\frac{1-\sqrt{1-y^2}}{y^2}\,dy+2\\ &=2\int_0^{\pi/2}\frac{\cos\theta}{1+\cos\theta}\,d\theta+2\\ &=2\left(\frac\pi2-1\right)+2 =\boxed{\pi}. \end{aligned}
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