お茶の水女子大学 人間文化創成科学研究科 理学専攻 情報科学コース 2019年2月実施 数学基礎 問題2

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• Kernel-and-Image
• Matrix-Determinant
• Matrix-Inverse
• Eigenvalues-and-Eigenvectors
• Matrix-Diagonalization

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

[1]

$$A=\begin{pmatrix} 1&1&1&1\\ 1&2&2&3\\ 2&2&3&3 \end{pmatrix}$$

について、次の問いに答えよ。

1. 核 $\operatorname{Ker}(A)=\{x\in\mathbb R^4\mid Ax=0\}$ を求めよ。
2. 像 $\operatorname{Im}(A)=\{y\in\mathbb R^3\mid\exists x\in\mathbb R^4,\ y=Ax\}$ を求めよ。

[2]

$$B=\begin{pmatrix} 3&0&-1\\ 1&2&1\\ -1&0&3 \end{pmatrix}$$

について、次の問いに答えよ。

1. $\det B$ を求めよ。
2. $B$ が正則か否かを判定し、正則ならば $B^{-1}$ を求めよ。
3. $B$ の固有値と固有ベクトルを求めよ。
4. $B$ が対角化できるか否かを判定し、できるならば適当な正則行列 $P$ を求めて対角化せよ。

题目描述

1. 求给定 $3\times4$ 矩阵 $A$ 的核与像。
2. 对给定方阵 $B$，求行列式和逆矩阵、特征值和特征向量，并判断它能否对角化。

Kai

[1]

行基本変形により、

$$A\sim \begin{pmatrix} 1&0&0&-1\\ 0&1&0&1\\ 0&0&1&1 \end{pmatrix}.$$

したがって $Ax=0$ の解は

$$x=t\begin{pmatrix}1\\-1\\-1\\1\end{pmatrix}\qquad(t\in\mathbb R)$$

であり、

$$\boxed{\operatorname{Ker}(A) =\operatorname{span}\left\{\begin{pmatrix}1\\-1\\-1\\1\end{pmatrix}\right\}}.$$

また、ピボット列は第 $1,2,3$ 列で、$\operatorname{rank}A=3$ である。よって

$$\boxed{\operatorname{Im}(A) =\operatorname{span}\left\{ \begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix} \right\}=\mathbb R^3}.$$

[2]

(1), (2)

余因子展開により

$$\det B=16\ne0.$$

したがって $B$ は正則であり、

$$\boxed{ B^{-1}=\begin{pmatrix} \frac38&0&\frac18\\ -\frac14&\frac12&-\frac14\\ \frac18&0&\frac38 \end{pmatrix}}$$

である。

(3)

固有方程式は

$$\det(\lambda I-B)=(\lambda-4)(\lambda-2)^2=0.$$

$\lambda=2$ に対して

$$\operatorname{Ker}(B-2I) =\operatorname{span}\left\{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\right\},$$

$\lambda=4$ に対して

$$\operatorname{Ker}(B-4I) =\operatorname{span}\left\{\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}\right\}.$$

したがって固有値は $2$（代数的重複度 $2$）と $4$（代数的重複度 $1$）であり、対応する固有ベクトルは上記各空間の零ベクトルでない元である。

(4)

$\lambda=2$ の固有空間は $1$ 次元である。したがって、一次独立な固有ベクトルは全部で $2$ 本しか得られず、

$$\boxed{B\text{ は対角化できない。}}$$