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お茶の水女子大学 人間文化創成科学研究科 理学専攻 情報科学コース 2019年2月実施 数学基礎 問題1

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description​

[1]​

関数

f(x)=x(log⁡x)2(x>0)f(x)=x(\log x)^2 \qquad (x>0)

について、次の問いに答えよ。

  1. f′(x)f'(x) および f′′(x)f''(x) を求めよ。
  2. lim⁡x→+0f(x)\displaystyle\lim_{x\to+0}f(x) および lim⁡x→+0f′(x)\displaystyle\lim_{x\to+0}f'(x) を求めよ。
  3. f(x)f(x) の増減と凹凸を調べ、グラフの概形を描け。

[2]​

a>0a>0 とし、曲線

x=a(t−sin⁡t),y=a(1−cos⁡t)(0≤t≤2π)x=a(t-\sin t),\qquad y=a(1-\cos t)\qquad(0\le t\le2\pi)

について、次の問いに答えよ。

  1. 曲線と xx 軸で囲まれた領域の面積を求めよ。
  2. その領域を xx 軸の回りに回転してできる回転体の体積を求めよ。

题目描述​

  1. 对 f(x)=x(log⁡x)2 (x>0)f(x)=x(\log x)^2\ (x>0)，求一、二阶导数与 x→0+x\to0^+ 时的两个极限，并讨论单调性、凹凸性及函数图像。
  2. 对摆线 x=a(t−sin⁡t), y=a(1−cos⁡t)x=a(t-\sin t),\ y=a(1-\cos t)（a>0a>0、0≤t≤2π0\le t\le2\pi）的一拱，求曲线与 xx 轴围成的面积，以及该区域绕 xx 轴旋转所得旋转体的体积。

Kai​

[1]​

(1)​

f′(x)=(log⁡x)2+2log⁡x=log⁡x(log⁡x+2),f′′(x)=2(log⁡x+1)x.\begin{aligned} f'(x)&=(\log x)^2+2\log x =\log x(\log x+2),\\ f''(x)&=\frac{2(\log x+1)}{x}. \end{aligned}

(2)​

x=e−ux=e^{-u} とおけば u→∞u\to\infty であるから、

lim⁡x→+0x(log⁡x)2=lim⁡u→∞u2e−u=0.\lim_{x\to+0}x(\log x)^2 =\lim_{u\to\infty}u^2e^{-u}=0.

また、

lim⁡x→+0f′(x)=lim⁡x→+0log⁡x(log⁡x+2)=+∞.\lim_{x\to+0}f'(x) =\lim_{x\to+0}\log x(\log x+2)=+\infty.

(3)​

f′(x)=0f'(x)=0 となるのは x=e−2,1x=e^{-2},1 であり、f′′(x)=0f''(x)=0 となるのは x=e−1x=e^{-1} である。したがって、

区間(0,e−2)(0,e^{-2})e−2e^{-2}(e−2,1)(e^{-2},1)11(1,∞)(1,\infty)
f′f'++00−-00++
ff増加極大 4e−24e^{-2}減少極小 00増加

さらに、

f′′(x){<0,0<x<e−1,>0,x>e−1,f''(x)\begin{cases} <0,&0<x<e^{-1},\\ >0,&x>e^{-1}, \end{cases}

ゆえに 0<x<e−10<x<e^{-1} では上に凸、x>e−1x>e^{-1} では下に凸で、変曲点は

(e−1,e−1)\left(e^{-1},e^{-1}\right)

である。概形は次のようになる（x=0x=0 は定義域外）。

y
^                                              /
|                                            _/
|       ● 極大                             _/
|     _/ \__                            __/
|   _/      ● 変曲                   __/
| _/         \____               ___/
|/                \____     ____/
|                      \   /
○------------------------●----------------------> x
x→0+                  極小 (1,0)

[2]​

dxdt=a(1−cos⁡t)≥0\frac{dx}{dt}=a(1-\cos t)\ge0

である。

(1)​

求める面積を SS とすると、

S=∫02πydxdt dt=a2∫02π(1−cos⁡t)2 dt=3πa2.\begin{aligned} S&=\int_0^{2\pi}y\frac{dx}{dt}\,dt\\ &=a^2\int_0^{2\pi}(1-\cos t)^2\,dt =3\pi a^2. \end{aligned}

(2)​

円板法より、体積 VV は

V=π∫y2 dx=πa3∫02π(1−cos⁡t)3 dt=5π2a3.\begin{aligned} V&=\pi\int y^2\,dx\\ &=\pi a^3\int_0^{2\pi}(1-\cos t)^3\,dt =5\pi^2a^3. \end{aligned}
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