お茶の水女子大学 人間文化創成科学研究科 理学専攻 情報科学コース 2018年8月実施 数学基礎 問題2

标签：

• Ochanomizu-University
• Parameterized-Diagonalizability
• Basis-and-Dimension
• Matrix-Determinant

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

[1]

$a\in\mathbb R$ とし、次の $3\times3$ 実行列

$$A=\begin{pmatrix} a+3&-4&-4\\ 1&a-2&-2\\ 1&-1&a-1 \end{pmatrix}$$

を考える。

1. $A$ が逆行列をもつための $a$ に関する必要十分条件を求めよ。
2. $A$ の固有値と固有ベクトルを求めよ。
3. 途中計算と用いた行列を示して $A$ を対角化せよ。

[2]

$\mathbb R^2$ の線形変換

$$T(x)=\begin{pmatrix}2&0\\1&8\end{pmatrix}x$$

を考える。

1. 基底 $\left\{(6,-1)^{\mathsf T},(-3,1)^{\mathsf T}\right\}$ に関する $T$ の表現行列を求めよ。
2. $S$ を $\mathbb R^2$ の任意の基底に関する $T$ の表現行列とするとき、$\det S$ を求めよ。

题目描述

1. 对含实参数矩阵 $A$，求可逆条件、特征值与特征向量，并完成对角化。
2. 求线性变换在指定基下的表示矩阵，并说明其在任意基下表示矩阵的行列式。

Kai

[1]

(1)

$$\det A=a(a-1)(a+1).$$

したがって

$$\boxed{A\text{ が正則}\iff a\ne-1,0,1}.$$

(2)

固有多項式は

$$\det(\lambda I-A) =(\lambda-a+1)(\lambda-a)(\lambda-a-1)$$

である。各固有値と対応する固有空間は

$$\begin{array}{c|c} \lambda&\text{固有空間}\\ \hline a-1&\operatorname{span}\{(1,1,0)^{\mathsf T}\}\\ a&\operatorname{span}\{(0,-1,1)^{\mathsf T}\}\\ a+1&\operatorname{span}\{(2,0,1)^{\mathsf T}\} \end{array}$$

である。

(3)

三つの固有値は任意の $a$ に対して相異なる。固有ベクトルを列に並べて

$$P=\begin{pmatrix} 1&0&2\\ 1&-1&0\\ 0&1&1 \end{pmatrix}, \qquad P^{-1}=\begin{pmatrix} -1&2&2\\ -1&1&2\\ 1&-1&-1 \end{pmatrix}$$

とすると $\det P=1$ であり、

$$\boxed{P^{-1}AP=\operatorname{diag}(a-1,a,a+1)}.$$

したがって $A$ はすべての実数 $a$ について対角化可能である。

[2]

(1)

基底ベクトルを列にもつ行列を

$$Q=\begin{pmatrix}6&-3\\-1&1\end{pmatrix}$$

とおく。標準基底での表現行列を $M=\begin{pmatrix}2&0\\1&8\end{pmatrix}$ とすると、求める行列は

$$\boxed{Q^{-1}MQ=\begin{pmatrix}2&3\\0&8\end{pmatrix}}.$$

(2)

基底を変えて得られる表現行列はすべて $M$ と相似であるから、行列式は不変である。よって

$$\boxed{\det S=\det M=16}.$$