お茶の水女子大学 人間文化創成科学研究科 理学専攻 情報科学コース 2018年8月実施 数学基礎 問題1

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• Differentiation
• Limit
• Change-of-Variables-and-Jacobian
• Tangent-Plane
• Surface-Normal

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

[1]

$a$ を正の整数とし、$f(x)=x(\log x)^a\ (x>0)$ とする。

1. $f'(x)$ を求めよ。
2. $\displaystyle\lim_{x\to+0}f(x)$ と $\displaystyle\lim_{x\to+0}f'(x)$ を求めよ。
3. $a=3$ のときの $y=f(x)$ の概形を描け。

[2]

$$D=\{(x,y)\mid |x+y|\le1,\ |x-2y|\le1\}$$

とするとき、$\displaystyle\iint_D(x-2y)^2\,dx\,dy$ を求めよ。

[3]

$f(x,y)=\tan^{-1}(y/x)$ とする。

1. $\partial f/\partial x$ と $\partial f/\partial y$ を求めよ。
2. 曲面 $z=f(x,y)$ の点 $(1,-1,-\pi/4)$ における接平面と法線の方程式を求めよ。

题目描述

1. 对 $f(x)=x(\log x)^a$（$a$ 为正整数、$x>0$）求导和右极限，并在 $a=3$ 时作图。
2. 用变量代换计算平行四边形区域上的二重积分。
3. 求 $\arctan(y/x)$ 的偏导数，以及指定点处曲面的切平面和法线。

Kai

[1]

(1)

$$\boxed{f'(x)=(\log x)^{a-1}(\log x+a)}.$$

(2)

$x=e^{-u}$ とおくと $u\to\infty$ であるから、

$$f(x)=(-1)^a u^ae^{-u}\longrightarrow0.$$

一方、$f'(x)$ の最高次項は $(\log x)^a$ である。したがって

$$\boxed{ \lim_{x\to+0}f(x)=0, \qquad \lim_{x\to+0}f'(x)= \begin{cases} +\infty,&a\text{ が偶数},\\ -\infty,&a\text{ が奇数}. \end{cases}}$$

(3)

$a=3$ のとき、

$$f'(x)=(\log x)^2(\log x+3), \qquad f''(x)=\frac{3\log x(\log x+2)}{x}.$$

よって $f$ は $(0,e^{-3})$ で減少し、$(e^{-3},\infty)$ で増加する。ただし $x=1$ では $f'(1)=0$ だが増減は変わらない。極小点と変曲点は

$$\text{極小点 }(e^{-3},-27e^{-3}),\qquad \text{変曲点 }(e^{-2},-8e^{-2}),\ (1,0)$$

である。また、$(0,e^{-2})$ と $(1,\infty)$ では $f''>0$、$(e^{-2},1)$ では $f''<0$ である。

y
^                                               /
|                                             _/
|                                           _/
○-----------------------------------------●----------> x
 \                                       (1,0)
  \                                    __/
   \__                              ___/
      ●________○___________________/
   極小          変曲
 (e^-3,-27e^-3) (e^-2,-8e^-2)

[2]

$$u=x+y,\qquad v=x-2y$$

とおく。$|\partial(u,v)/\partial(x,y)|=3$ なので $dx\,dy=\frac13du\,dv$ であり、$D$ は $-1\le u,v\le1$ に移る。よって

$$\begin{aligned} \iint_D(x-2y)^2\,dx\,dy &=\frac13\int_{-1}^1\int_{-1}^1v^2\,du\,dv\\ &=\boxed{\frac49}. \end{aligned}$$

[3]

(1)

$$\boxed{ f_x=-\frac{y}{x^2+y^2}, \qquad f_y=\frac{x}{x^2+y^2}}$$

である。

(2)

$(1,-1)$ では $f_x=f_y=1/2$ である。したがって接平面は

$$z+\frac\pi4=\frac12(x-1)+\frac12(y+1),$$

すなわち

$$\boxed{x+y-2z-\frac\pi2=0}.$$

法線の方向ベクトルとして $(1,1,-2)$ を取れるので、法線は

$$\boxed{(x,y,z)=\left(1,-1,-\frac\pi4\right)+t(1,1,-2)\quad(t\in\mathbb R)}.$$