跳到主要内容

お茶の水女子大学 人間文化創成科学研究科 理学専攻 情報科学コース 2018年2月実施 数学基礎 問題2

标签：

Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description​

【1】​

f:V→Vf:V\to V を線形空間 VV から VV への線形写像とする。また、v∈Vv\in V を

fk(v)=0,fk−1(v)≠0f^k(v)=0,\qquad f^{k-1}(v)\ne0

を満たすベクトルとする。ただし、kk はある自然数であり、fn(v)f^n(v) は vv に写像 ff を nn 回作用させたものである。次の各項目を示せ。

(1)​

kk 個のベクトル v,f(v),…,fk−1(v)v,f(v),\ldots,f^{k-1}(v) は線形独立である。

(2)​

kk 個のベクトル v,f(v),…,fk−1(v)v,f(v),\ldots,f^{k-1}(v) が生成する部分空間を WW、WW の任意の要素を ww とする。このとき、f(w)∈Wf(w)\in W である。

(3)​

WW の任意の要素 ww に対して、fk(w)=0f^k(w)=0 である。

【2】​

33 次元空間 R3\mathbb R^3 において、P⊂R3P\subset\mathbb R^3 を

x−y−2z=0x-y-2z=0

によって表される平面、

L⊂R3を{x=0,y=−zL\subset\mathbb R^3 \quad\text{を}\quad \begin{cases} x=0,\\ y=-z \end{cases}

によって表される直線であるとする。以下の各問に答えよ。

(1)​

点 (x,y,z)T∈L(x,y,z)^T\in L の PP への正射影 (x′,y′,z′)T(x',y',z')^T を求めよ。

(2)​

点 (x,y,z)T∈P(x,y,z)^T\in P の LL への正射影 (x′,y′,z′)T(x',y',z')^T を求めよ。

题目描述​

  1. 已知线性映射的向量 vv 满足 fk(v)=0f^k(v)=0、fk−1(v)≠0f^{k-1}(v)\ne0，证明其生成的长度为 kk 的链线性无关、生成空间在 ff 下不变，且 fkf^k 在该空间上为零。
  2. 在 R3\mathbb R^3 中，求直线 L:x=0, y=−zL:x=0,\ y=-z 上的点到平面 P:x−y−2z=0P:x-y-2z=0 的正射影，以及平面上点到该直线的正射影。

Kai​

【1】​

(1)​

∑i=0k−1aifi(v)=0\sum_{i=0}^{k-1}a_i f^i(v)=0

と仮定する。非零の係数があるなら、その添字の最小値を jj とする。両辺に fk−1−jf^{k-1-j} を作用させると、i>ji>j の項は fk(v)=0f^k(v)=0 により消え、

ajfk−1(v)=0a_jf^{k-1}(v)=0

を得る。fk−1(v)≠0f^{k-1}(v)\ne0 だから aj=0a_j=0 となり矛盾する。よって

v,f(v),…,fk−1(v) は線形独立である。\boxed{v,f(v),\ldots,f^{k-1}(v)\text{ は線形独立である。}}

(2)​

w∈Ww\in W を

w=∑i=0k−1aifi(v)w=\sum_{i=0}^{k-1}a_i f^i(v)

と表せば

f(w)=∑i=0k−2aifi+1(v)∈W.f(w)=\sum_{i=0}^{k-2}a_i f^{i+1}(v)\in W.

したがって f(W)⊂W\boxed{f(W)\subset W} である。

(3)​

上の表示から

fk(w)=∑i=0k−1aifk+i(v)=0.f^k(w)=\sum_{i=0}^{k-1}a_i f^{k+i}(v)=0.

よって fk∣W=0\boxed{f^k|_W=0} である。

【2】​

平面 PP の法線ベクトルを

n=(1,−1,−2)Tn=(1,-1,-2)^T

とする。

(1)​

p=(x,y,z)T∈Lp=(x,y,z)^T\in L の PP への正射影は

p′=p−p⋅nn⋅nn=p−x−y−2z6(1−1−2).p'=p-\frac{p\cdot n}{n\cdot n}n =p-\frac{x-y-2z}{6} \begin{pmatrix}1\\-1\\-2\end{pmatrix}.

p∈Lp\in L より (x,y,z)=(0,t,−t)(x,y,z)=(0,t,-t) と書けるので

(x′y′z′)=(−t/67t/6−2t/3)=(−y/67y/6−2y/3).\boxed{ \begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-t/6\\7t/6\\-2t/3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-y/6\\7y/6\\-2y/3\end{pmatrix}}.

(2)​

LL の方向ベクトルを d=(0,1,−1)Td=(0,1,-1)^T とする。p=(x,y,z)T∈Pp=(x,y,z)^T\in P の LL への正射影は

p′=p⋅dd⋅dd=y−z2(01−1).p'=\frac{p\cdot d}{d\cdot d}d =\frac{y-z}{2}\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}.

したがって

(x′y′z′)=(0(y−z)/2(z−y)/2).\boxed{ \begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\(y-z)/2\\(z-y)/2\end{pmatrix}}.
本页目录