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お茶の水女子大学 人間文化創成科学研究科 理学専攻 情報科学コース 2018年2月実施 数学基礎 問題1

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description​

【1】​

f(x)=sin⁡n−1xcos⁡xf(x)=\sin^{n-1}x\cos x とする。このとき以下の各問に答えよ。ただし nn は正の整数である。

(1)​

dfdx\dfrac{df}{dx} を求めよ。

(2)​

dfdx=asin⁡nx+bsin⁡n−2x\frac{df}{dx}=a\sin^n x+b\sin^{n-2}x

としたとき定数 aa と bb を求めよ。

(3)​

In=∫0π/2sin⁡nx dxI_n=\int_0^{\pi/2}\sin^n x\,dx

と置く。∫0π/2dfdx dx\displaystyle\int_0^{\pi/2}\dfrac{df}{dx}\,dx を計算することによって、

nIn=(n−1)In−2nI_n=(n-1)I_{n-2}

が成立することを示せ。

(4)​

∫0π/2sin⁡nx dx\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin^n x\,dx を求めよ。

【2】​

22 変数関数 g(x,y)=e−xyg(x,y)=e^{-xy} について以下の各問に答えよ。

(1)​

∂g∂x\dfrac{\partial g}{\partial x} と ∂g∂y\dfrac{\partial g}{\partial y} を求めよ。

(2)​

関数 g(x,y)g(x,y) が条件 x2+y2=1x^2+y^2=1 のもとで極値を取る候補点を求めよ。

题目描述​

  1. 对 f(x)=sin⁡n−1xcos⁡xf(x)=\sin^{n-1}x\cos x 求导，并由其积分推导

    nIn=(n−1)In−2,In=∫0π/2sin⁡nx dx,nI_n=(n-1)I_{n-2},\qquad I_n=\int_0^{\pi/2}\sin^n x\,dx,

    进而求 InI_n。

  2. 对 g(x,y)=e−xyg(x,y)=e^{-xy} 求两个偏导数，并求其在单位圆上可能取得极值的点。

Kai​

【1】​

(1), (2)​

積の微分より、n≥2n\ge2 では

f′(x)=(n−1)sin⁡n−2xcos⁡2x−sin⁡nx=(n−1)sin⁡n−2x−nsin⁡nx.\begin{aligned} f'(x) &=(n-1)\sin^{n-2}x\cos^2x-\sin^n x\\ &=(n-1)\sin^{n-2}x-n\sin^n x. \end{aligned}

したがって

a=−n,b=n−1.\boxed{a=-n,\qquad b=n-1}.

n=1n=1 では f(x)=cos⁡xf(x)=\cos x なので f′(x)=−sin⁡xf'(x)=-\sin x であり、a=−1,b=0a=-1,b=0 である。

(3)​

n≥2n\ge2 では f(0)=f(π/2)=0f(0)=f(\pi/2)=0 だから

0=∫0π/2f′(x) dx=(n−1)In−2−nIn.0=\int_0^{\pi/2}f'(x)\,dx =(n-1)I_{n-2}-nI_n.

よって

nIn=(n−1)In−2(n≥2).\boxed{nI_n=(n-1)I_{n-2}\qquad(n\ge2)}.

(4)​

I0=π/2I_0=\pi/2、I1=1I_1=1 と漸化式を用いると

In={(2m−1)!!(2m)!!π2,n=2m,(2m)!!(2m+1)!!,n=2m+1\boxed{ I_n= \begin{cases} \dfrac{(2m-1)!!}{(2m)!!}\dfrac\pi2,&n=2m,\\[3mm] \dfrac{(2m)!!}{(2m+1)!!},&n=2m+1 \end{cases}}

を得る。

【2】​

(1)​

∂g∂x=−ye−xy,∂g∂y=−xe−xy.\boxed{ \frac{\partial g}{\partial x}=-ye^{-xy}, \qquad \frac{\partial g}{\partial y}=-xe^{-xy} }.

(2)​

単位円を x=cos⁡θ, y=sin⁡θx=\cos\theta,\ y=\sin\theta とおくと、

ddθg(cos⁡θ,sin⁡θ)=−cos⁡2θ e−sin⁡2θ/2.\frac{d}{d\theta}g(\cos\theta,\sin\theta) =-\cos2\theta\,e^{-\sin2\theta/2}.

したがって停留点は cos⁡2θ=0\cos2\theta=0、すなわち x=±yx=\pm y に限られる。

g=e−xyg=e^{-xy} は xyxy の狭義単調減少関数なので、単位円上で xyxy が極値を取る点を調べればよい。

2xy≤x2+y2=1,−2xy≤x2+y2=12xy\le x^2+y^2=1,\qquad -2xy\le x^2+y^2=1

より −1/2≤xy≤1/2-1/2\le xy\le1/2 であり、等号条件は x=±yx=\pm y である。したがって候補点は

(12,12),(−12,−12),(12,−12),(−12,12).\boxed{ \left(\frac1{\sqrt2},\frac1{\sqrt2}\right), \left(-\frac1{\sqrt2},-\frac1{\sqrt2}\right), \left(\frac1{\sqrt2},-\frac1{\sqrt2}\right), \left(-\frac1{\sqrt2},\frac1{\sqrt2}\right) }.

前二点で最小値 e−1/2e^{-1/2}、後二点で最大値 e1/2e^{1/2} を取る。

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