お茶の水女子大学 人間文化創成科学研究科 理学専攻 情報科学コース 2017年8月実施 数学基礎 問題2

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• Matrix-Determinant

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

[1]

$$A= \begin{pmatrix} 1&1&1&1\\ 1&2&-2&3\\ 1&3&-5&5 \end{pmatrix}$$

で表現される線形変換 $f$ の核空間 $\operatorname{Ker}f$ と像空間 $\operatorname{Im}f$ の次元および基底を求めよ。

[2]

$$A= \begin{pmatrix} -7&-12&0\\ 4&7&0\\ -2&-4&-1 \end{pmatrix}$$

を対角化し、$A^n$（$n\ge1$）を求めよ。

[3]

次の行列式を計算せよ。

$$\begin{vmatrix} b^2+c^2&ab&ca\\ ab&c^2+a^2&bc\\ ca&bc&a^2+b^2 \end{vmatrix}.$$

题目描述

1. 求给定 $3\times4$ 矩阵所表示线性变换的核、像的维数与基。
2. 对给定 $3\times3$ 矩阵作对角化并求 $A^n$。
3. 计算一个含参数 $a,b,c$ 的三阶行列式。

Kai

[1]

行基本変形により

$$A\sim \begin{pmatrix} 1&0&4&-1\\ 0&1&-3&2\\ 0&0&0&0 \end{pmatrix}.$$

したがって

$$\operatorname{Ker}f =\operatorname{span}\left\{ \begin{pmatrix}-4\\3\\1\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\-2\\0\\1\end{pmatrix} \right\}, \qquad \boxed{\dim\operatorname{Ker}f=2}.$$

主列は第 $1,2$ 列なので

$$\operatorname{Im}f =\operatorname{span}\left\{ \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix} \right\}, \qquad \boxed{\dim\operatorname{Im}f=2}.$$

[2]

特性多項式は

$$\det(\lambda I-A)=(\lambda-1)(\lambda+1)^2.$$

対応する固有ベクトルとして

$$\lambda=-1:\quad \begin{pmatrix}-2\\1\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}, \qquad \lambda=1:\quad \begin{pmatrix}3\\-2\\1\end{pmatrix}$$

をとる。よって

$$P= \begin{pmatrix} -2&0&3\\ 1&0&-2\\ 0&1&1 \end{pmatrix}, \qquad P^{-1}AP=\operatorname{diag}(-1,-1,1).$$

$q=(-1)^n$ とおけば

$$\boxed{ A^n= \begin{pmatrix} 4q-3&6q-6&0\\ 2-2q&4-3q&0\\ q-1&2q-2&q \end{pmatrix} }.$$

[3]

第 $1$ 行で展開して同類項をまとめると

$$\begin{aligned} &\det \begin{pmatrix} b^2+c^2&ab&ca\\ ab&c^2+a^2&bc\\ ca&bc&a^2+b^2 \end{pmatrix}\\ &=(b^2+c^2)(c^2+a^2)(a^2+b^2)+2a^2b^2c^2\\ &\quad -(b^2+c^2)b^2c^2-(c^2+a^2)c^2a^2-(a^2+b^2)a^2b^2\\ &=\boxed{4a^2b^2c^2}. \end{aligned}$$