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お茶の水女子大学 人間文化創成科学研究科 理学専攻 情報科学コース 2017年8月実施 数学基礎 問題1

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description​

[1]​

f(x)=xe1/xf(x)=xe^{1/x} について、次の問いに答えよ。

  1. f(x)f(x) を微分せよ。
  2. 曲線 y=f(x)y=f(x) が x→±∞x\to\pm\infty で漸近する直線を求めよ。
  3. 曲線の概形に必要な極限をすべて求め、概形を描け。

[2]​

  1. lim⁡x→0(cos⁡x)1/(1−cos⁡x)\displaystyle\lim_{x\to0}(\cos x)^{1/(1-\cos x)} を求めよ。
  2. 方程式 x2−xy+y3+9=0x^2-xy+y^3+9=0 の定める陰関数 y=g(x)y=g(x) の極値を求めよ。
  3. 極座標曲線 r=e−θ/πr=e^{-\theta/\pi}（0≤θ<∞0\le\theta<\infty）の概形を描き、曲線の長さを求めよ。

题目描述​

  1. 对 f(x)=xe1/xf(x)=xe^{1/x} 求导、求 x→±∞x\to\pm\infty 时的斜渐近线，并利用极限描绘函数图像。
  2. 计算一个三角函数型极限；求隐函数 x2−xy+y3+9=0x^2-xy+y^3+9=0 的极值；描绘对数螺线 r=e−θ/πr=e^{-\theta/\pi} 并求其总弧长。

Kai​

[1]​

(1)​

定義域は x≠0x\ne0 であり、

f′(x)=e1/x(1−1x),f′′(x)=e1/xx3.\boxed{f'(x)=e^{1/x}\left(1-\frac1x\right)}, \qquad f''(x)=\frac{e^{1/x}}{x^3}.

(2)​

x→±∞x\to\pm\infty で

xe1/x=x(1+1x+O(x−2))=x+1+O(x−1).xe^{1/x}=x\left(1+\frac1x+O(x^{-2})\right) =x+1+O(x^{-1}).

よって斜漸近線は

y=x+1\boxed{y=x+1}

である。

(3)​

必要な極限は

lim⁡x→−∞f(x)=−∞,lim⁡x→0−f(x)=0,lim⁡x→0+f(x)=+∞,lim⁡x→+∞f(x)=+∞.\begin{aligned} &\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty, &&\lim_{x\to0-}f(x)=0,\\ &\lim_{x\to0+}f(x)=+\infty, &&\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty. \end{aligned}

f′f' と f′′f'' の符号から、(−∞,0)(-\infty,0) では単調増加かつ上に凸、(0,1)(0,1) では単調減少かつ下に凸、(1,∞)(1,\infty) では単調増加かつ下に凸である。したがって x=1x=1 で極小値

f(1)=e\boxed{f(1)=e}

をとる。

             y
             ↑╲                        ╱
             │ ╲                    ╱
             │  ╲                ╱
             │   ╲____●________╱
             │        (1,e)
─────────────○─────────────────────────→ x
         __╱ 0（(0,0) は非定義）
       ╱
    ╱
  y=x+1（x→±∞ で漸近）

[2]​

(1)​

対数をとると

lim⁡x→0log⁡(cos⁡x)1−cos⁡x=−1/21/2=−1.\lim_{x\to0}\frac{\log(\cos x)}{1-\cos x} =\frac{-1/2}{1/2}=-1.

ゆえに

lim⁡x→0(cos⁡x)1/(1−cos⁡x)=e−1.\boxed{\displaystyle\lim_{x\to0}(\cos x)^{1/(1-\cos x)}=e^{-1}}.

(2)​

F(x,y)=x2−xy+y3+9F(x,y)=x^2-xy+y^3+9 とおくと

g′(x)=−FxFy=2x−yx−3y2.g'(x)=-\frac{F_x}{F_y} =\frac{2x-y}{x-3y^2}.

なお、Fy=0F_y=0、すなわち x=3y2x=3y^2 を F=0F=0 に代入すると 9y4−2y3+9=09y^4-2y^3+9=0 となるが、左辺は常に正である。したがって曲線上では Fy≠0F_y\ne0 である。

極値では 2x−y=02x-y=0 である。x=y/2x=y/2 を F=0F=0 に代入すると

4y3−y2+36=(y+2)(4y2−9y+18)=0.4y^3-y^2+36=(y+2)(4y^2-9y+18)=0.

実数解は y=−2y=-2 のみで、x=−1x=-1 である。この点では Fy=13≠0F_y=13\ne0 であり、

g′′(−1)=−FxxFy=−213<0.g''(-1)=-\frac{F_{xx}}{F_y}=-\frac2{13}<0.

したがって

x=−1 で極大値 g(−1)=−2\boxed{x=-1\text{ で極大値 }g(-1)=-2}

をとり、極小値はない。

(3)​

θ=0\theta=0 で (r,θ)=(1,0)(r,\theta)=(1,0) から出発し、反時計回りに無限回転しながら原点へ近づく対数螺旋である。

                 y
                 ↑
          ╭────────╮
       ╭──╯   ╭─╮  ╰──● (1,0)
       ╰──────╯ ↘
                 O────────→ x
             （原点へ収束）

dr/dθ=−r/πdr/d\theta=-r/\pi であるから、全長は

L=∫0∞r2+(drdθ)2 dθ=1+1π2∫0∞e−θ/π dθ=π2+1.\begin{aligned} L &=\int_0^\infty\sqrt{r^2+\left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2}\,d\theta\\ &=\sqrt{1+\frac1{\pi^2}}\int_0^\infty e^{-\theta/\pi}\,d\theta =\boxed{\sqrt{\pi^2+1}}. \end{aligned}
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