お茶の水女子大学 人間文化創成科学研究科 理学専攻 情報科学コース 2017年2月実施 数学基礎 問題2

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• Ochanomizu-University
• Basis-and-Dimension
• Matrix-Diagonalization
• Matrix-Power

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

[1] $\mathbb{R}^4$ の部分空間

$$W_1= \left\{ \begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix} \middle| \begin{array}{rcl} y-z+2w&=&0\\ x-y-w&=&0 \end{array} \right\},$$

$$W_2= \left\{ \begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix} \middle| \begin{array}{rcl} x&=&2z\\ x&=&-2w \end{array} \right\}$$

について以下の各問に答えよ。

1. $W_1\cap W_2$ の次元と基底を求めよ。
2. (1) で求めた $W_1\cap W_2$ の基底を含むように、$W_1,W_2$ の基底をそれぞれ求めよ。

[2]

実対称行列

$$A=\begin{pmatrix} 2&0&0&1\\ 0&2&1&0\\ 0&1&2&0\\ 1&0&0&2 \end{pmatrix}$$

について、以下の各問に答えよ。

1. 適当な直交行列 $P$ を求めて対角化せよ。
2. $A^n$ を求めよ。

题目描述

1. 给定 $\mathbb R^4$ 的两个子空间 $W_1,W_2$，求交空间的维数和一组基，并分别把这组基扩充为 $W_1,W_2$ 的基。
2. 对给定的 $4$ 阶实对称矩阵 $A$，求正交矩阵 $P$ 将其对角化，并计算 $A^n$。

Kai

[1]

(1)

$W_2$ の条件から $x=2z$, $w=-z$ である。これを $W_1$ の条件に代入すると

$$y-3z=0,$$

もう一方の式も自動的に満たされる。したがって

$$W_1\cap W_2 =\left\{t\begin{pmatrix}2\\3\\1\\-1\end{pmatrix}\middle|t\in\mathbb{R}\right\}.$$

よって

$$\boxed{\dim(W_1\cap W_2)=1,\qquad \left\{\begin{pmatrix}2\\3\\1\\-1\end{pmatrix}\right\}\text{ は基底}}$$

である。

(2)

$W_1$ では $z,w$ を自由変数にとると

$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix} =z\begin{pmatrix}1\\1\\1\\0\end{pmatrix} +w\begin{pmatrix}-1\\-2\\0\\1\end{pmatrix}.$$

また、$W_2$ では $y,z$ を自由変数にとると

$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix} =y\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix} +z\begin{pmatrix}2\\0\\1\\-1\end{pmatrix}.$$

したがって、(1) のベクトルを含む基底の一例は

$$\boxed{ \begin{aligned} W_1:&\quad \left\{ \begin{pmatrix}2\\3\\1\\-1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\1\\1\\0\end{pmatrix} \right\},\\[2mm] W_2:&\quad \left\{ \begin{pmatrix}2\\3\\1\\-1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix} \right\}. \end{aligned}}$$

[2]

(1)

固有値 $3$ に対する正規直交固有ベクトルとして

$$\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\end{pmatrix}, \qquad \frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}0\\1\\1\\0\end{pmatrix},$$

固有値 $1$ に対して

$$\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\0\\0\\-1\end{pmatrix}, \qquad \frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}0\\1\\-1\\0\end{pmatrix}$$

をとる。これらを列にもつ

$$P=\frac1{\sqrt2} \begin{pmatrix} 1&0&1&0\\ 0&1&0&1\\ 0&1&0&-1\\ 1&0&-1&0 \end{pmatrix}$$

は直交行列であり、

$$\boxed{P^TAP=\operatorname{diag}(3,3,1,1)}$$

となる。

(2)

$A=P\operatorname{diag}(3,3,1,1)P^T$ より、$n\geq0$ に対して

$$\boxed{ A^n=\frac12 \begin{pmatrix} 3^n+1&0&0&3^n-1\\ 0&3^n+1&3^n-1&0\\ 0&3^n-1&3^n+1&0\\ 3^n-1&0&0&3^n+1 \end{pmatrix}}$$

である。