お茶の水女子大学 人間文化創成科学研究科 理学専攻 情報科学コース 2017年2月実施 数学基礎 問題1

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Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

[1]

次の各問に答えよ。

1. $\displaystyle \frac{d}{dx}\left(e^{\cos 2x}\right)$ を計算せよ。

2. 有限な極限値

   $$b=\lim_{x\to0}\frac{a-\log(2+x)}{x}$$

   が存在するとき、定数 $a$ の値と極限値 $b$ を求めよ。

[2]

$$I_n(x)=\int_0^x\frac{dt}{(t^2+1)^n}$$

とする。ただし $n=1,2,\ldots$ である。このとき次の各問に答えよ。

1. $I_1(x)$ を求めよ。

2. $\displaystyle I_n(x)=\int_0^x\frac{t}{(t^2+1)^{n+1}}\,t\,dt+I_{n+1}(x)$ であることを示せ。

3. (2) の積分を部分積分を用いて計算することによって、以下の式が成立することを示せ。

   $$2nI_{n+1}(x)=\frac{x}{(x^2+1)^n}+(2n-1)I_n(x).$$

4. $I_2(x)$ と $I_3(x)$ を求めよ。

题目描述

1. 求 $e^{\cos 2x}$ 的导数；若 $\lim_{x\to0}(a-\log(2+x))/x$ 为有限值，求 $a$ 与该极限。
2. 对 $I_n(x)=\int_0^x(1+t^2)^{-n}dt$（$n=1,2,\ldots$），求 $I_1$，证明题给分解和递推式，并计算 $I_2,I_3$。

Kai

[1]

(1)

合成関数の微分法より

$$\boxed{\frac{d}{dx}\left(e^{\cos 2x}\right) =-2\sin 2x\,e^{\cos 2x}}.$$

(2)

$x\to0$ で分母が $0$ になるため、有限な極限が存在するには分子も $0$ にならなければならない。よって

$$a-\log2=0, \qquad a=\log2.$$

このとき L'Hôpital の定理より

$$b=\lim_{x\to0}\frac{\log2-\log(2+x)}{x} =\lim_{x\to0}-\frac{1}{2+x} =-\frac12.$$

したがって

$$\boxed{a=\log2,\qquad b=-\frac12}.$$

[2]

(1)

$$\boxed{I_1(x)=\int_0^x\frac{dt}{1+t^2}=\arctan x}.$$

(2)

$1+t^2=t^2+1$ を分子に補うと、

$$\begin{aligned} I_n(x) &=\int_0^x\frac{1+t^2}{(1+t^2)^{n+1}}\,dt\\ &=\int_0^x\frac{t^2}{(1+t^2)^{n+1}}\,dt +\int_0^x\frac{dt}{(1+t^2)^{n+1}}\\ &=\int_0^x\frac{t}{(1+t^2)^{n+1}}\,t\,dt+I_{n+1}(x). \end{aligned}$$

(3)

$J=\int_0^x t\,\dfrac{t}{(1+t^2)^{n+1}}dt$ とおく。

$$\int\frac{t}{(1+t^2)^{n+1}}dt =-\frac{1}{2n(1+t^2)^n}$$

だから、部分積分により

$$J=-\frac{x}{2n(1+x^2)^n}+\frac{1}{2n}I_n(x).$$

(2) の $I_n=J+I_{n+1}$ に代入して整理すると、

$$\boxed{2nI_{n+1}(x)=\frac{x}{(1+x^2)^n}+(2n-1)I_n(x)}.$$

(4)

(3) に $n=1$ を代入すると

$$\boxed{I_2(x)=\frac{x}{2(1+x^2)}+\frac12\arctan x}.$$

さらに $n=2$ を代入して

$$\begin{aligned} I_3(x) &=\frac{x}{4(1+x^2)^2}+\frac34I_2(x)\\ &=\boxed{\frac{x(5+3x^2)}{8(1+x^2)^2}+\frac38\arctan x}. \end{aligned}$$