お茶の水女子大学 人間文化創成科学研究科 理学専攻 情報科学コース 2016年8月実施 数学基礎 問題2

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Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

【1】

連立 $1$ 次方程式

$$\begin{cases} x-ay-2z=2,\\ ax+y+4z=4,\\ 2x-ay-z=5 \end{cases}$$

について以下の各問に答えよ。ただし $a$ は実数とする。

(1)

ただ $1$ つの解をもつための $a$ の条件を求めよ。

(2)

解をもたないように $a$ の値を定めよ。

(3)

無限に多くの解をもつように $a$ の値を定め、この連立 $1$ 次方程式を解け。

【2】

$\mathbb{R}^3$ から $\mathbb{R}^3$ への線形写像

$$f\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} x+2y-z\\ 4x+y+3z\\ x+z \end{pmatrix}$$

について、以下の各問に答えよ。

(1)

線形写像 $f$ を表す行列 $A$ を求めよ。

(2)

$f$ の核（$\operatorname{Ker}f$）と像（$\operatorname{Im}f$）を求めよ。

(2)

$A$ の固有値と固有ベクトルを求めよ。

题目描述

1. 对含实参数 $a$ 的三元一次方程组，分别求其有唯一解、无解及有无穷多解时的 $a$；在无穷多解时写出全部解。

2. 对线性映射

   $$f(x,y,z)^T=(x+2y-z,\ 4x+y+3z,\ x+z)^T,$$

   求表示矩阵、核与像，以及矩阵的特征值和特征向量。

Kai

【1】

係数行列を $M$ とすると

$$M=\begin{pmatrix} 1&-a&-2\\ a&1&4\\ 2&-a&-1 \end{pmatrix},\qquad \det M=(a-1)(a-3).$$

(1)

したがって、ただ $1$ つの解をもつ条件は

$$\boxed{a\ne1,3}.$$

(2)

$a=3$ のとき、係数行列の階数は $2$、拡大係数行列の階数は $3$ となる。よって解をもたないのは

$$\boxed{a=3}.$$

(3)

$a=1$ のとき、係数行列と拡大係数行列の階数はいずれも $2$ であり、行基本変形により

$$x+z=3,\qquad y+3z=1$$

を得る。$z=t\in\mathbb R$ とおけば

$$\boxed{a=1,\qquad (x,y,z)=(3-t,\ 1-3t,\ t)\quad(t\in\mathbb R)}.$$

【2】

(1)

標準基底に関する表現行列は

$$\boxed{ A=\begin{pmatrix} 1&2&-1\\ 4&1&3\\ 1&0&1 \end{pmatrix}}.$$

(2)

$A\boldsymbol{x}=0$ を行基本変形すると $x+z=0$、$y-z=0$ となるので

$$\boxed{ \operatorname{Ker}f =\operatorname{span}\left\{ \begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix} \right\}}.$$

$\operatorname{rank}A=2$ であり、第 $1$、第 $2$ 列が一次独立だから

$$\boxed{ \operatorname{Im}f =\operatorname{span}\left\{ \begin{pmatrix}1\\4\\1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix} \right\}}.$$

(2)（固有値と固有ベクトル）

$$\det(\lambda I-A)=\lambda(\lambda-4)(\lambda+1).$$

したがって固有値と対応する固有ベクトルは、任意の非零定数倍を許して

$$\boxed{ \begin{array}{c|c} \lambda&\text{固有ベクトル}\\ \hline -1&(-4,5,2)^T\\ 0&(-1,1,1)^T\\ 4&(3,5,1)^T \end{array}}$$

である。