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お茶の水女子大学 人間文化創成科学研究科 理学専攻 情報科学コース 2016年8月実施 数学基礎 問題1

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description​

【1】​

次の各問に答えよ。

(1)​

関数 1+x\sqrt{1+x} のマクローリン展開を x3x^3 の項まで求めよ。

(2)​

定積分

∫12x−1x dx\int_1^2\frac{\sqrt{x-1}}{x}\,dx

の値を x−1=t\sqrt{x-1}=t と置換することによって求めよ。

(3)​

33 次元空間の曲面

z(x,y)=x2−2xy−y+y3+3z(x,y)=x^2-2xy-y+y^3+3

において、曲面上の点 (1,0,z(1,0))(1,0,z(1,0)) における接平面の方程式を求めよ。

【2】​

関数 Pn(x)P_n(x) が P0(x)=1P_0(x)=1 および

Pn(x)=12nn!dnf(x)dxn(n=1,2,…)P_n(x)=\frac{1}{2^n n!}\frac{d^n f(x)}{dx^n}\qquad(n=1,2,\ldots)

によって定められているとする。ただし f(x)=(x2−1)nf(x)=(x^2-1)^n である。このとき、次の各問に答えよ。

(1)​

P1(x)P_1(x) と P2(x)P_2(x) を xx の多項式として表せ。

(2)​

次式が成立することを示せ。

(x2−1)df(x)dx=2nxf(x)(x^2-1)\frac{df(x)}{dx}=2nxf(x)

(3)​

式 (x2−1)df(x)dx=2nxf(x)(x^2-1)\dfrac{df(x)}{dx}=2nxf(x) の両辺を xx で n+1n+1 回微分することによって、次式を導出せよ。

(x2−1)d2Pn(x)dx2+2xdPn(x)dx−n(n+1)Pn(x)=0(x^2-1)\frac{d^2P_n(x)}{dx^2} +2x\frac{dP_n(x)}{dx} -n(n+1)P_n(x)=0

题目描述​

  1. 求 1+x\sqrt{1+x} 到 x3x^3 项的 Maclaurin 展开；用 t=x−1t=\sqrt{x-1} 计算 ∫12x−1x dx\displaystyle\int_1^2\frac{\sqrt{x-1}}x\,dx；求曲面 z=x2−2xy−y+y3+3z=x^2-2xy-y+y^3+3 在 (1,0,z(1,0))(1,0,z(1,0)) 处的切平面。

  2. 由 Rodrigues 公式定义

    Pn(x)=12nn!dndxn(x2−1)n.P_n(x)=\frac1{2^n n!}\frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n.

    求 P1,P2P_1,P_2，证明题给恒等式，并推导 PnP_n 满足的二阶微分方程。

Kai​

【1】​

(1)​

二項級数より

1+x=1+x2−x28+x316+O(x4).\boxed{ \sqrt{1+x}=1+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}+\frac{x^3}{16}+O(x^4) }.

(2)​

t=x−1t=\sqrt{x-1} とおくと x=t2+1x=t^2+1、dx=2t dtdx=2t\,dt であり、積分区間は 0≤t≤10\le t\le1 となる。よって

∫12x−1x dx=∫012t21+t2 dt=2∫01(1−11+t2)dt=2−π2.\begin{aligned} \int_1^2\frac{\sqrt{x-1}}x\,dx &=\int_0^1\frac{2t^2}{1+t^2}\,dt\\ &=2\int_0^1\left(1-\frac1{1+t^2}\right)dt =\boxed{2-\frac\pi2}. \end{aligned}

(3)​

z(1,0)=4,zx=2x−2y,zy=−2x−1+3y2.z(1,0)=4,\qquad z_x=2x-2y,\qquad z_y=-2x-1+3y^2.

したがって zx(1,0)=2z_x(1,0)=2、zy(1,0)=−3z_y(1,0)=-3 であり、接平面は

z−4=2(x−1)−3y,z=2x−3y+2.z-4=2(x-1)-3y,\qquad \boxed{z=2x-3y+2}.

【2】​

(1)​

定義から

P1(x)=12ddx(x2−1)=x,P_1(x)=\frac12\frac d{dx}(x^2-1)=x,
P2(x)=18d2dx2(x2−1)2=12(3x2−1).P_2(x)=\frac1{8}\frac{d^2}{dx^2}(x^2-1)^2 =\frac12(3x^2-1).

よって

P1(x)=x,P2(x)=12(3x2−1).\boxed{P_1(x)=x,\qquad P_2(x)=\frac12(3x^2-1)}.

(2)​

f(x)=(x2−1)nf(x)=(x^2-1)^n より

f′(x)=2nx(x2−1)n−1.f'(x)=2nx(x^2-1)^{n-1}.

両辺に x2−1x^2-1 を掛ければ

(x2−1)f′(x)=2nxf(x).\boxed{(x^2-1)f'(x)=2nxf(x)}.

(3)​

D=d/dxD=d/dx とする。Leibniz の公式により

Dn+1((x2−1)f′)=(x2−1)f(n+2)+2(n+1)xf(n+1)+n(n+1)f(n),\begin{aligned} D^{n+1}\bigl((x^2-1)f'\bigr) ={}&(x^2-1)f^{(n+2)} +2(n+1)xf^{(n+1)}\\ &+n(n+1)f^{(n)}, \end{aligned}

また

Dn+1(2nxf)=2nxf(n+1)+2n(n+1)f(n).D^{n+1}(2nxf)=2nx f^{(n+1)}+2n(n+1)f^{(n)}.

両者を等置して整理すると

(x2−1)f(n+2)+2xf(n+1)−n(n+1)f(n)=0.(x^2-1)f^{(n+2)}+2xf^{(n+1)}-n(n+1)f^{(n)}=0.

これを 2nn!2^n n! で割り、Pn=f(n)/(2nn!)P_n=f^{(n)}/(2^n n!) を用いれば

(x2−1)Pn′′(x)+2xPn′(x)−n(n+1)Pn(x)=0.\boxed{ (x^2-1)P_n''(x)+2xP_n'(x)-n(n+1)P_n(x)=0 }.
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