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新潟大学 自然科学研究科 数理物質科学専攻 数理科学コース 2022年度 数学 問題5

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description​

題意の要約。 曲線 C⊂R3C\subset\mathbb R^3 を

p(t)=(t2, t+t33, t−t33)(−∞<t<∞)\boldsymbol p(t)=\left(t^2,\ t+\frac{t^3}{3},\ t-\frac{t^3}{3}\right) \qquad(-\infty<t<\infty)

で表す。

  1. CC の単位接ベクトルを求めよ。
  2. 0≤t≤10\le t\le1 に対応する部分の長さを求めよ。
  3. CC の曲率を求めよ。

Kai​

(1)​

p′(t)=(2t,1+t2,1−t2),∣p′(t)∣=2(1+t2).\boldsymbol p'(t)=(2t,1+t^2,1-t^2),\qquad |\boldsymbol p'(t)|=\sqrt2(1+t^2).

したがって

T(t)=(2t,1+t2,1−t2)2(1+t2).\boldsymbol T(t)=\frac{(2t,1+t^2,1-t^2)}{\sqrt2(1+t^2)}.

(2)​

L=∫01∣p′(t)∣ dt=2[t+t33]01=423.L=\int_0^1|\boldsymbol p'(t)|\,dt =\sqrt2\left[t+\frac{t^3}{3}\right]_0^1 =\frac{4\sqrt2}{3}.

(3)​

dTds=(1−t2,0,−2t)(1+t2)3,\frac{d\boldsymbol T}{ds} =\frac{(1-t^2,0,-2t)}{(1+t^2)^3},

ゆえに

κ(t)=∣dTds∣=1(1+t2)2.\kappa(t)=\left|\frac{d\boldsymbol T}{ds}\right| =\frac1{(1+t^2)^2}.

Reference​

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