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新潟大学 自然科学研究科 数理物質科学専攻 数理科学コース 2021年8月実施 数学 問題5

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description​

３次元ユークリッド空間 R3\mathbb R^3 内の曲線

p(t)=(t2,t+t33,t−t33)(−∞<t<∞)\boldsymbol p(t)=\left(t^2,t+\frac{t^3}{3},t-\frac{t^3}{3}\right) \qquad(-\infty<t<\infty)

を CC で表す。このとき，次の問いに答えよ。

(1) 曲線 CC の単位接ベクトルを求めよ。

(2) 曲線 CC の 0≤t≤10\le t\le1 の部分の長さを求めよ。

(3) 曲線 CC の曲率を求めよ。

题目描述​

以 CC 表示三维欧几里得空间 R3\mathbb R^3 中的曲线

p(t)=(t2,t+t33,t−t33)(−∞<t<∞).\boldsymbol p(t)=\left(t^2,t+\frac{t^3}{3},t-\frac{t^3}{3}\right) \qquad(-\infty<t<\infty).

请回答下列问题。

(1) 求曲线 CC 的单位切向量。

(2) 求曲线 CC 在 0≤t≤10\le t\le1 部分的长度。

(3) 求曲线 CC 的曲率。

Kai​

(1)​

p′(t)=(2t,1+t2,1−t2),∣p′(t)∣=2(1+t2).\boldsymbol p'(t)=(2t,1+t^2,1-t^2),\qquad |\boldsymbol p'(t)|=\sqrt2(1+t^2).

したがって

T(t)=(2t,1+t2,1−t2)2(1+t2).\boldsymbol T(t)=\frac{(2t,1+t^2,1-t^2)}{\sqrt2(1+t^2)}.

(2)​

L=∫01∣p′(t)∣ dt=2[t+t33]01=423.L=\int_0^1|\boldsymbol p'(t)|\,dt =\sqrt2\left[t+\frac{t^3}{3}\right]_0^1 =\frac{4\sqrt2}{3}.

(3)​

dTds=(1−t2,0,−2t)(1+t2)3,\frac{d\boldsymbol T}{ds} =\frac{(1-t^2,0,-2t)}{(1+t^2)^3},

ゆえに

κ(t)=∣dTds∣=1(1+t2)2.\kappa(t)=\left|\frac{d\boldsymbol T}{ds}\right| =\frac1{(1+t^2)^2}.

Reference​

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