名古屋大学 理学研究科 物理学教室 2019年8月実施 物理学 [II]

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Author

Miyake

Description

题目描述

本文件原 Description 为空，现有解答只保留了问题 1 的 (a)—(c)，(d) 与问题 2 均无内容。可确认题意如下。

半径为 $a$、电流为 $I$ 的圆形电流环位于 $xy$ 平面，环上位置以

$$\boldsymbol s=a(\cos\varphi,\sin\varphi,0)$$

参数化；空间存在沿 $x$ 方向、大小为 $B_0$ 的均匀磁场。

1. 写出电流元 $d\boldsymbol s$ 所受磁力 $d\boldsymbol F=I\,d\boldsymbol s\times\boldsymbol B$，并求关于圆心的微元力矩 $d\boldsymbol N=\boldsymbol s\times d\boldsymbol F$。
2. 沿整环积分求总力矩 $\boldsymbol N$。
3. 将结果写成 $\boldsymbol N=\boldsymbol\mu\times\boldsymbol B$，求圆电流环的磁偶极矩 $\boldsymbol\mu$。
4. 原 (d) 小问题干及解答缺失。

问题 2 的题干与解答均缺失，无法可靠恢复。

Kai

問 1.

(a)

$$\begin{aligned} \boldsymbol{s} &= a \left( \cos \varphi, \sin \varphi, 0 \right) \\ d \boldsymbol{s} &= a d \varphi \left( - \sin \varphi, \cos \varphi, 0 \right) \\ d \boldsymbol{F} &= - I B_0 a \cos \varphi \ d \varphi \left( 0, 0, 1 \right) \\ d \boldsymbol{N} &= - I B_0 a^2 \cos \varphi \ d \varphi \left( \sin \varphi, - \cos \varphi, 0 \right) \\ &= \frac{1}{2} I B_0 a^2 d \varphi \left( - \sin 2 \varphi, \cos 2 \varphi + 1, 0 \right) \end{aligned}$$

(b)

$$\begin{aligned} \boldsymbol{N} &= \frac{1}{2} I B_0 a^2 \int_0^{2 \pi} d \varphi \left( - \sin 2 \varphi, \cos 2 \varphi + 1, 0 \right) \\ &= \frac{1}{2} I B_0 a^2 \left[ \left( \frac{1}{2} \cos 2 \varphi, \frac{1}{2} \sin 2 \varphi + \varphi, 0 \right) \right]_0^{2 \pi} \\ &= \pi I B_0 a^2 \left( 0, 1, 0 \right) \end{aligned}$$

((c))

(b) より

$$\begin{aligned} \boldsymbol{N} &= \pi I B_0 a^2 \left( 0, 0, 1 \right) \times \left( 1, 0, 0 \right) \end{aligned}$$

と書けるので、

$$\begin{aligned} \boldsymbol{\mu} &= \pi I a^2 \left( 0, 0, 1 \right) \end{aligned}$$

がわかる。

(d)

問 2.