名古屋大学 理学研究科 物理学教室 2019年8月実施 物理学 [II]

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Author

Miyake

Description

題意の要約。

半径 $a$ の変形しない円形導線を $xy$ 平面に置き、中心を原点に固定する。導線の太さ、重力、空気抵抗、自己磁場を無視し、電流 $I$ は常に一定に保つ。電流方向に測る角度を $\varphi$ とし、$\boldsymbol s=a(\cos\varphi,\sin\varphi,0)$、$d\boldsymbol F=I\,d\boldsymbol s\times\boldsymbol B$ とする。ベクトルの向きも答える。

問1

一様な磁場 $\boldsymbol B=(B_0,0,0)$ をかける。

(a) 微小区間 $[\varphi,\varphi+d\varphi]$ の力による原点まわりのトルク $d\boldsymbol N$ を求める。

(b) 全体のトルク $\boldsymbol N$ を求める。

(c) $\boldsymbol N=\boldsymbol\mu\times\boldsymbol B$ を満たす磁気モーメントを求める。

(d) 固定を静かに解除した後の運動を選ぶ：(1) $x$ 軸まわりに一方向へ回転、(2) $y$ 軸まわりに一方向へ回転、(3) $x$ 軸まわりに振動、(4) $y$ 軸まわりに振動。

問2

磁場を $\boldsymbol B=(0,0,B_0+B_1x)$ に変える。$B_0,B_1$ は定数であり、初め導線の中心は原点に固定されている。

(a) 微小区間に働く力 $d\boldsymbol F$ を求める。

(b) 導線全体に働く力 $\boldsymbol F$ を求める。

$t=0$ で固定を静かに解除する。導線の全質量を $M$ とし、以下では $t\geq0$ とする。

(c) 中心の位置を求める。

(d) 誘導される逆起電力を求める。

(e) この逆起電力に抗して電流を一定に保つのに必要な電気エネルギーを、時刻 $t$ までの積算値として求める。

(f) 導線の運動エネルギーを求め、(e) と比較する。

题目描述

半径为 $a$、电流恒定为 $I$ 的不变形圆形导线位于 $xy$ 平面，圆心初始固定在原点。忽略导线粗细、重力、空气阻力以及电流自身产生的磁场。沿电流方向取角参数 $\varphi$，令 $\boldsymbol s=a(\cos\varphi,\sin\varphi,0)$；电流元受力为 $d\boldsymbol F=I\,d\boldsymbol s\times\boldsymbol B$。向量答案应说明方向。

问1

施加均匀磁场 $\boldsymbol B=(B_0,0,0)$。

1. 求微小导线段 $[\varphi,\varphi+d\varphi]$ 受到的力及其对原点的微元力矩 $d\boldsymbol N=\boldsymbol s\times d\boldsymbol F$。
2. 沿整环积分求总力矩 $\boldsymbol N$。
3. 由 $\boldsymbol N=\boldsymbol\mu\times\boldsymbol B$ 求磁偶极矩 $\boldsymbol\mu$。
4. 轻轻解除固定，选择导线的运动：绕 $x$ 轴单向转动、绕 $y$ 轴单向转动、绕 $x$ 轴振动、绕 $y$ 轴振动。

问2

改施加静磁场 $\boldsymbol B=(0,0,B_0+B_1x)$，其中 $B_0,B_1$ 为常数。初始圆心仍固定在原点。

1. 求微小导线段所受力 $d\boldsymbol F$。
2. 求整环合力 $\boldsymbol F$。

在 $t=0$ 轻轻解除固定，导线总质量为 $M$，以下考虑 $t\ge0$。

3. 求时刻 $t$ 的圆心位置。
4. 求时刻 $t$ 在圆环中感应的反电动势，说明方向。
5. 电流始终保持恒定。求为克服反电动势而供给的电能，从0到时刻 $t$ 累积计算。
6. 求时刻 $t$ 的动能，并与上一问的供电能比较。

Kai

問 1.

(a)

$$\begin{aligned} \boldsymbol{s} &= a \left( \cos \varphi, \sin \varphi, 0 \right) \\ d \boldsymbol{s} &= a d \varphi \left( - \sin \varphi, \cos \varphi, 0 \right) \\ d \boldsymbol{F} &= - I B_0 a \cos \varphi \ d \varphi \left( 0, 0, 1 \right) \\ d \boldsymbol{N} &= - I B_0 a^2 \cos \varphi \ d \varphi \left( \sin \varphi, - \cos \varphi, 0 \right) \\ &= \frac{1}{2} I B_0 a^2 d \varphi \left( - \sin 2 \varphi, \cos 2 \varphi + 1, 0 \right) \end{aligned}$$

(b)

$$\begin{aligned} \boldsymbol{N} &= \frac{1}{2} I B_0 a^2 \int_0^{2 \pi} d \varphi \left( - \sin 2 \varphi, \cos 2 \varphi + 1, 0 \right) \\ &= \frac{1}{2} I B_0 a^2 \left[ \left( \frac{1}{2} \cos 2 \varphi, \frac{1}{2} \sin 2 \varphi + \varphi, 0 \right) \right]_0^{2 \pi} \\ &= \pi I B_0 a^2 \left( 0, 1, 0 \right) \end{aligned}$$

(c)

(b) より

$$\begin{aligned} \boldsymbol{N} &= \pi I B_0 a^2 \left( 0, 0, 1 \right) \times \left( 1, 0, 0 \right) \end{aligned}$$

と書けるので、

$$\begin{aligned} \boldsymbol{\mu} &= \pi I a^2 \left( 0, 0, 1 \right) \end{aligned}$$

がわかる。

(d)

$y$ 軸まわりの回転角を $\alpha$ とすると、$\boldsymbol\mu=\mu(\sin\alpha,0,\cos\alpha)$ であり、

$$N_y=\mu B_0\cos\alpha,\qquad U(\alpha)=-\mu B_0\sin\alpha.$$

静止状態 $\alpha=0$ から出発すると全エネルギーは $0$。$B_0>0$ の場合、$\alpha=\pi/2$ が安定な向きで、$\alpha=0$ と $\pi$ の間を往復する。したがって (4)。$B_0$ の符号が逆でも、振動軸は $y$ 軸である。

問 2.

(a)

$$d\boldsymbol F=Ia(B_0+B_1a\cos\varphi) (\cos\varphi,\sin\varphi,0)\,d\varphi.$$

(b)

$$\boldsymbol F=\int_0^{2\pi}d\boldsymbol F =\pi I a^2B_1(1,0,0).$$

各微小力は中心からの半径方向なので中心まわりのトルクは $0$ であり、導線は回転せず並進する。

(c)

中心の $x$ 座標を $X(t)$ とする。移動後は (a) の磁場に $B_1X(t)$ が加わるが、その一様部分は合力に寄与しない。よって加速度は一定で、

$$\boldsymbol R(t)=\left(\frac{\pi I a^2B_1}{2M}t^2,0,0\right),\qquad \dot X(t)=\frac{\pi I a^2B_1}{M}t.$$

(d)

電流方向を正とした面を通る磁束は

$$\Phi(t)=\pi a^2\bigl(B_0+B_1X(t)\bigr).$$

したがって符号付き誘導起電力は

$$\mathcal E=-\frac{d\Phi}{dt} =-\pi a^2B_1\dot X(t) =-\frac{\pi^2Ia^4B_1^2}{M}t.$$

これは電流を妨げる向きであり、逆起電力の大きさは $-\mathcal E$ である。

(e)

$$W(t)=\int_0^t I\bigl(-\mathcal E(\tau)\bigr)\,d\tau =\frac{\pi^2I^2a^4B_1^2}{2M}t^2.$$

(f)

$$K(t)=\frac12M\dot X(t)^2 =\frac{\pi^2I^2a^4B_1^2}{2M}t^2=W(t).$$

逆起電力に抗して供給した電気エネルギーが、導線の並進運動エネルギーになる。

Reference

• 名古屋大学 公式問題 PDF