名古屋大学 理学研究科 物理学教室 2019年8月実施 物理学 [I]

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• 名古屋大学
• 拉格朗日力学
• 圆的渐开线
• 循环坐标与动量守恒

Author

Miyake

Description

図1のように原点 O を通り紙面に垂直な直線を中心軸とする半径 $R$ の円柱に巻き付いた，質量の無視できる長さ $2\pi R$ の伸び縮みしない糸がある．糸の片側は円柱上の点 S に固定されていて，もう片側には質量 $m$ の質点をつける．円柱上の点 S および質点の初期位置を $S_0$ とし，質点に時刻 $t=0$ で動径方向に初速 $v_0$ を与え，巻きつきをほどくことを考える．途中，糸と円柱の接点を C，質点の位置を P，OS と OC のなす角 $\angle\mathrm{SOC}$ を $\theta$ とし，時計まわりを正とする．$\mathrm{OS}_0$ の方向に $y$ 軸をとり，それと直交する方向に $x$ 軸をとる．接点から質点まで糸はたるむことはないとし，ほどけるまでの運動を考える．重力などのポテンシャルはないとして以下の問いに答えよ．

まず，円柱は固定されていて，回転しない場合を考える（図1参照）．

問1. 接点 C の位置ベクトルを $\overrightarrow{\mathrm{OC}}=(R\sin\theta,R\cos\theta)$ と表すとき，ベクトル $\overrightarrow{\mathrm{CP}}$ を求め，質点の位置ベクトル $\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}+\overrightarrow{\mathrm{CP}}$ を求めよ．

問2. 時刻 $t>0$ での質点の速度 $\boldsymbol v=\dfrac{d\overrightarrow{\mathrm{OP}}}{dt}=(v_x,v_y)$ について，$v_x,v_y$ を $\theta,\dot\theta,R$ で表わせ．ただし，$\dot\theta$ は $\theta$ の時間微分とする．

問3. 系のラグランジアン $\mathcal L=\dfrac m2|\boldsymbol v|^2$ を $m,R,\theta$ および $\dot\theta$ を用いて表わせ．題意からポテンシャルはないとしてよい．

問4. $\theta$ についてのオイラー・ラグランジュ方程式 $\dfrac d{dt}\left(\dfrac{\partial\mathcal L}{\partial\dot\theta}\right)=\dfrac{\partial\mathcal L}{\partial\theta}$ を求めよ．

問5. 問4で得られた方程式を解き，$\theta$ が $t$ の関数として

$$\theta(t)=\sqrt{2\frac{v_0}{R}t}$$

となることを示せ．

問6. 点 O まわりの質点の角運動量の大きさを求めよ．角運動量は保存するかどうか，理由をつけて答えよ．

問7. 質点の運動エネルギーは保存するかどうか，理由をつけて答えよ．

次に，円柱が中心軸まわりに摩擦無く回転できる場合を考える（図2参照）．前問までと同様，時刻 $t=0$ で初期位置 $S_0$ にある質点に，動径方向に初速 $v_0$ を与え，巻きつきをほどくことを考える．角 $\angle\mathrm{S}_0\mathrm{OS}$ を $\psi$ とし，時計まわりを正とする．円柱の中心軸回りの慣性モーメントを $I\ (>0)$ とし，初期時刻 $t=0$ で円柱は静止していたとして，以下の問いに答えよ．

問8. $\theta,\dot\theta,\dot\psi$ および $m,R,I$ を用いて系のラグランジアンを求めよ．ただし $\dot\psi$ は $\psi$ の時間微分とする．題意よりポテンシャルはないとしてよく，運動エネルギーは円柱の回転運動エネルギーと質点の並進運動エネルギーの和で与えられるとする．

問9. $\theta$ および $\psi$ についてのオイラー・ラグランジュ方程式を求めよ．

問10. $\psi$ についてのオイラー・ラグランジュ方程式より，保存量を求めよ．

問11. $\dot\theta>0$ であることに注意して，円柱はどちらへ回転（時計まわり，または反時計まわり）するか，理由をつけて答えよ．

問12. 質点の運動エネルギーは保存するかどうか，理由をつけて答えよ．

题目描述

如上方图1所示，一根质量可忽略、长度为 $2\pi R$、不可伸缩的线绕在半径为 $R$ 的圆柱上，圆柱的中心轴是通过原点 O 且垂直纸面的直线。线的一端固定在圆柱上的点 S，另一端连接质量为 $m$ 的质点。圆柱上点 S 和质点的初始位置均为 $S_0$。在 $t=0$ 时沿径向给质点初速度 $v_0$，考察线逐渐展开的过程。过程中，线与圆柱的切点记为 C，质点位置记为 P，OS 与 OC 的夹角 $\angle\mathrm{SOC}$ 记为 $\theta$，顺时针方向为正。沿 $\mathrm{OS}_0$ 方向取 $y$ 轴，在与其垂直的方向取 $x$ 轴。设切点到质点之间的线始终绷紧，考察线完全展开前的运动。忽略重力等势能，回答下列问题。

首先考虑圆柱固定、不能旋转的情况（图1）。

问1. 将切点 C 的位置向量写为 $\overrightarrow{\mathrm{OC}}=(R\sin\theta,R\cos\theta)$，求 $\overrightarrow{\mathrm{CP}}$，进而求质点的位置向量 $\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}+\overrightarrow{\mathrm{CP}}$。

问2. 对于时刻 $t>0$ 的质点速度 $\boldsymbol v=\dfrac{d\overrightarrow{\mathrm{OP}}}{dt}=(v_x,v_y)$，用 $\theta,\dot\theta,R$ 表示 $v_x,v_y$。其中 $\dot\theta$ 为 $\theta$ 的时间导数。

问3. 用 $m,R,\theta,\dot\theta$ 表示系统的拉格朗日量 $\mathcal L=\dfrac m2|\boldsymbol v|^2$。由题意可取势能为零。

问4. 求关于 $\theta$ 的欧拉–拉格朗日方程 $\dfrac d{dt}\left(\dfrac{\partial\mathcal L}{\partial\dot\theta}\right)=\dfrac{\partial\mathcal L}{\partial\theta}$。

问5. 解问4所得方程，证明 $\theta$ 作为 $t$ 的函数为

$$\theta(t)=\sqrt{2\frac{v_0}{R}t}.$$

问6. 求质点关于 O 点的角动量大小，并说明其是否守恒及理由。

问7. 说明质点的动能是否守恒及理由。

接着考虑圆柱可绕中心轴无摩擦旋转的情况（图2）。与前述相同，在 $t=0$ 时沿径向给位于初始位置 $S_0$ 的质点初速度 $v_0$，使绕线逐渐展开。令 $\angle\mathrm{S}_0\mathrm{OS}=\psi$，顺时针方向为正。圆柱绕中心轴的转动惯量为 $I\ (>0)$，且初始时刻 $t=0$ 圆柱静止。回答下列问题。

问8. 用 $\theta,\dot\theta,\dot\psi,m,R,I$ 求系统的拉格朗日量，其中 $\dot\psi$ 为 $\psi$ 的时间导数。由题意可忽略势能，动能是圆柱转动动能与质点平动动能之和。

问9. 求关于 $\theta,\psi$ 的欧拉–拉格朗日方程。

问10. 由关于 $\psi$ 的欧拉–拉格朗日方程求守恒量。

问11. 注意 $\dot\theta>0$，判断圆柱向哪一方向旋转（顺时针或逆时针），并说明理由。

问12. 说明质点的动能是否守恒及理由。

Kai

問 1.

$$\begin{aligned} \overrightarrow{\mathrm{CP}} &= R \theta (- \cos \theta, \sin \theta) \\ \therefore \ \ \overrightarrow{\mathrm{OP}} &= \overrightarrow{\mathrm{OC}} + \overrightarrow{\mathrm{CP}} \\ &= R (\sin \theta - \theta \cos \theta, \cos \theta + \theta \sin \theta) \end{aligned}$$

問 2.

$$\begin{aligned} (v_x, v_y) = R \theta \dot{\theta} (\sin \theta, \cos \theta) \end{aligned}$$

問 3.

$$\begin{aligned} \mathcal{L} &= \frac{m}{2} \left( v_x^2 + v_y^2 \right) = \frac{m}{2} R^2 \theta^2 \dot{\theta}^2 \end{aligned}$$

問 4.

$$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\theta}} &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} m R^2 \theta^2 \dot{\theta} = m R^2 \left( 2 \theta \dot{\theta}^2 + \theta^2 \ddot{\theta} \right) \\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \theta} &= m R^2 \theta \dot{\theta}^2 \end{aligned}$$

なので、オイラー-ラグランジュ方程式より、

$$\begin{aligned} \theta \dot{\theta}^2 + \theta^2 \ddot{\theta} = 0 \end{aligned}$$

問 5.

$t>0$ で $\theta>0$ だから、問4を $\theta$ で割ると

$$\frac{d}{dt}(\theta\dot\theta)=0.$$

初速度の条件より $R\theta\dot\theta=v_0$。これを積分し、$\theta(0)=0$ を使うと

$$\theta^2=\frac{2v_0t}{R},\qquad \theta(t)=\sqrt{\frac{2v_0t}{R}}.$$

与えられた $\theta(t) = \sqrt{2 v_0 t / R}$ が 運動方程式と初期条件を満たすことは次のようにして確かめられる。 まず、

$$\begin{aligned} \dot{\theta} (t) = \sqrt{\frac{v_0}{2Rt}} , \ \ \ddot{\theta} (t) = - \sqrt{\frac{v_0}{8Rt^3}} \end{aligned}$$

より、運動方程式 $\theta \dot{\theta}^2 + \theta^2 \ddot{\theta} = 0$ を満たすことがわかる。 次に、

$$\begin{aligned} (v_x, v_y) = v_0 \left(\sin \sqrt{\frac{2v_0t}{R}}, \cos \sqrt{\frac{2v_0t}{R}} \right) \end{aligned}$$

より、初期条件（ $t=0$ で $\theta = 0, \ v_x = 0, \ v_y = v_0$ ）も $t\to0^+$ の極限で満たすことがわかる。$\dot\theta$ 自体はこの極限で発散するが、質点の速度は有限である。

問 6.

点 P の位置を $(x,y)$ とすると、求める角運動量の大きさは、

$$\begin{aligned} L &= m \left| x v_y - y v_x \right| \\ &= m R^2 \theta^2 \left| \dot{\theta} \right| \end{aligned}$$

であるが、問5で与えられた解を使うと、

$$\begin{aligned} L &= m \sqrt{2R v_0^3 t} \end{aligned}$$

を得る。 これは $t$ に依存するので保存量ではない。 （糸の一端がy軸上に固定されていることから、この系は中心軸に関する回転対称性を持たない。）

問 7.

問 5 より、 $v_x^2 + v_y^2 = v_0^2$ なので、運動エネルギーは保存する。 （摩擦や非弾性衝突などがなく、ポテンシャルエネルギーも考えていないので、運動エネルギーが保存しない理由がない。）

問 8.

問 1, 2, 3 と同じように考えて、

$$\begin{aligned} \overrightarrow{\mathrm{OC}} &= R \left( \sin(\theta+\psi), \cos(\theta+\psi) \right) \\ \overrightarrow{\mathrm{CP}} &= R \theta \left(-\cos(\theta+\psi), \sin(\theta+\psi) \right) \\ \overrightarrow{\mathrm{OP}} &= \overrightarrow{\mathrm{OC}} + \overrightarrow{\mathrm{CP}} \\ &= R \left( \sin(\theta+\psi) - \theta \cos(\theta+\psi), \cos (\theta + \psi) + \theta \sin (\theta + \psi) \right) \\ \vec{v} &= R \left(\begin{gathered} \dot{\psi} \cos(\theta+\psi) + \theta (\dot{\theta}+\dot{\psi}) \sin(\theta+\psi),\\ -\dot{\psi} \sin(\theta+\psi) + \theta (\dot{\theta}+\dot{\psi}) \cos(\theta+\psi) \end{gathered}\right) \\ \left| \vec{v} \right|^2 &= R^2 \left( \dot{\psi}^2 + \theta^2 (\dot{\theta}+\dot{\psi})^2 \right) \\ \mathcal{L} &= \frac{1}{2} I \dot{\psi}^2 + \frac{1}{2} m \left| \vec{v} \right|^2 \\ &= \frac{1}{2} \left( I + mR^2 \right) \dot{\psi}^2 + \frac{1}{2} mR^2 \theta^2 \left( \dot{\theta} + \dot{\psi} \right)^2 \end{aligned}$$

問 9.

$$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\theta}} &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} mR^2 \theta^2 \left( \dot{\theta} + \dot{\psi} \right) \\ &= mR^2 \left( 2 \theta \dot{\theta} (\dot{\theta}+\dot{\psi}) + \theta^2 (\ddot{\theta}+\ddot{\psi}) \right) \\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \theta} &= mR^2 \theta \left( \dot{\theta} + \dot{\psi} \right)^2 \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\psi}} &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \left( \left( I+mR^2 \right) \dot{\psi} + mR^2 \theta^2 \left( \dot{\theta} + \dot{\psi} \right) \right) \\ &= \left( I+mR^2 \right) \ddot{\psi} + 2mR^2 \theta \dot{\theta} \left( \dot{\theta} + \dot{\psi} \right) + mR^2 \theta^2 \left( \ddot{\theta} + \ddot{\psi} \right) \\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \psi} &= 0 \end{aligned}$$

なので、 $\theta, \psi$ に関するオイラー-ラグランジュ方程式はそれぞれ次のようになる：

$$\begin{gathered} 2 \theta \dot{\theta} \left( \dot{\theta}+\dot{\psi} \right) + \theta^2 \left( \ddot{\theta}+\ddot{\psi} \right) = \theta \left( \dot{\theta} + \dot{\psi} \right)^2 \\ \left( I+mR^2 \right) \ddot{\psi} + 2mR^2 \theta \dot{\theta} \left( \dot{\theta} + \dot{\psi} \right) \\ {}+ mR^2 \theta^2 \left( \ddot{\theta} + \ddot{\psi} \right) = 0 \end{gathered}$$

問 10.

問 9 からわかるように、

$$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \left( \left( I+mR^2 \right) \dot{\psi} + mR^2 \theta^2 \left( \dot{\theta} + \dot{\psi} \right) \right) = 0 \end{aligned}$$

つまり、

$$\begin{aligned} \left( I+mR^2 \right) \dot{\psi} + mR^2 \theta^2 \left( \dot{\theta} + \dot{\psi} \right) \end{aligned}$$

は保存量である。

問 11.

$t=0$ において $\theta = 0, \ \dot{\psi}=0$ であるから、 問 10 の保存量は $t \geq 0$ において $0$ である：

$$\begin{aligned} \left( I+mR^2 \right) \dot{\psi} + mR^2 \theta^2 \left( \dot{\theta} + \dot{\psi} \right) = 0 \\ \therefore \ \ \dot{\psi} = - \frac{mR^2 \theta^2 \dot{\theta}} {I + mR^2 + mR^2 \theta^2} \end{aligned}$$

$t \gt 0$ において $\theta \gt 0, \ \dot{\theta} \gt 0$ であるから $\dot{\psi} \lt 0$ であり、時計回りを正とした $\psi$ が減少するため、円柱は反時計回りに回転することがわかる。

問 12.

$t=0$ での質点の運動エネルギー $(1/2)mv_0^2$ の一部は円柱の運動エネルギーとなるので、質点の運動エネルギーは保存しない。

Reference

• 名古屋大学 公式問題 PDF