名古屋大学 理学研究科 物理学教室 2019年8月実施 物理学 [I]

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• Nagoya-University
• Involute-Constrained-Motion
• Lagrangian-Mechanics
• Cyclic-Coordinate-and-Conserved-Momentum
• Involute-of-a-Circle

Author

Miyake

Description

题目描述

原 Description 未录入文字；以下由现有十二问解答整理。半径为 $R$ 的圆上缠有不可伸长细线，线端质点 $P$ 的质量为 $m$。以 $\theta$ 表示从圆上展开的角参数，接触点为 $C$，圆心为 O；忽略势能与耗散。

固定圆柱（问题 1—7）：

1. 求 $\overrightarrow{OP}$ 关于 $\theta$ 的坐标，说明轨迹为圆的渐开线。
2. 求质点速度 $(v_x,v_y)$。
3. 写出 Lagrangian。
4. 推导 $\theta$ 的 Euler–Lagrange 运动方程。
5. 在初始条件 $t=0$ 时 $\theta=0,\ v_x=0,\ v_y=v_0$ 下，验证
   $$\theta(t)=\sqrt{\frac{2v_0t}{R}}$$
   为解。
6. 求质点关于 O 的角动量，并判断是否守恒。
7. 判断质点动能是否守恒。

可转动圆柱（问题 8—12）：现在圆柱可绕 O 转动，转角为 $\psi$、转动惯量为 $I$；质点相对圆柱展开角仍为 $\theta$。

8. 求质点位置、速度和含圆柱转动能的 Lagrangian。
9. 写出关于 $\theta,\psi$ 的两条 Euler–Lagrange 方程。
10. 利用 $\psi$ 是循环坐标求相应守恒广义动量。
11. 在 $t=0$ 时 $\theta=0,\dot\psi=0$ 且随后 $\theta,\dot\theta>0$ 的条件下，判断圆柱转动方向。
12. 判断此时质点自身的动能是否守恒，并说明能量转移。

Kai

問 1.

$$\begin{aligned} \overrightarrow{\mathrm{CP}} &= R \theta (- \cos \theta, \sin \theta) \\ \therefore \ \ \overrightarrow{\mathrm{OP}} &= \overrightarrow{\mathrm{OC}} + \overrightarrow{\mathrm{CP}} \\ &= R (\sin \theta - \theta \cos \theta, \cos \theta + \theta \sin \theta) \end{aligned}$$

問 2.

$$\begin{aligned} (v_x, v_y) = R \theta \dot{\theta} (\sin \theta, \cos \theta) \end{aligned}$$

問 3.

$$\begin{aligned} \mathcal{L} &= \frac{m}{2} \left( v_x^2 + v_y^2 \right) = \frac{m}{2} R^2 \theta^2 \dot{\theta}^2 \end{aligned}$$

問 4.

$$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\theta}} &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} m R^2 \theta^2 \dot{\theta} = m R^2 \left( 2 \theta \dot{\theta}^2 + \theta^2 \ddot{\theta} \right) \\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \theta} &= m R^2 \theta \dot{\theta}^2 \end{aligned}$$

なので、オイラー-ラグランジュ方程式より、

$$\begin{aligned} \theta \dot{\theta}^2 + \theta^2 \ddot{\theta} = 0 \end{aligned}$$

問 5.

与えられた $\theta(t) = \sqrt{2 v_0 t / R}$ が 運動方程式と初期条件を満たすことは次のようにして確かめられる。 まず、

$$\begin{aligned} \dot{\theta} (t) = \sqrt{\frac{v_0}{2Rt}} , \ \ \ddot{\theta} (t) = - \sqrt{\frac{v_0}{8Rt^3}} \end{aligned}$$

より、運動方程式 $\theta \dot{\theta}^2 + \theta^2 \ddot{\theta} = 0$ を満たすことがわかる。 次に、

$$\begin{aligned} (v_x, v_y) = v_0 \left(\sin \sqrt{\frac{2v_0t}{R}}, \cos \sqrt{\frac{2v_0t}{R}} \right) \end{aligned}$$

より、初期条件（ $t=0$ で $\theta = 0, \ v_x = 0, \ v_y = v_0$ ）も満たすことがわかる。

問 6.

点 P の位置を $(x,y)$ とすると、求める角運動量の大きさは、

$$\begin{aligned} L &= m \left| x v_y - y v_x \right| \\ &= m R^2 \theta^2 \left| \dot{\theta} \right| \end{aligned}$$

であるが、問5で与えられた解を使うと、

$$\begin{aligned} L &= 2m \sqrt{R v_0^3 t} \end{aligned}$$

を得る。 これは $t$ に依存するので保存量ではない。 （糸の一端がy軸上に固定されていることから、この系は中心軸に関する回転対称性を持たない。）

問 7.

問 5 より、 $v_x^2 + v_y^2 = v_0^2$ なので、運動エネルギーは保存する。 （摩擦や非弾性衝突などがなく、ポテンシャルエネルギーも考えていないので、運動エネルギーが保存しない理由がない。）

問 8.

問 1, 2, 3 と同じように考えて、

$$\begin{aligned} \overrightarrow{\mathrm{OC}} &= R \left( \sin(\theta+\psi), \cos(\theta+\psi) \right) \\ \overrightarrow{\mathrm{CP}} &= R \theta \left(-\cos(\theta+\psi), \sin(\theta+\psi) \right) \\ \overrightarrow{\mathrm{OP}} &= \overrightarrow{\mathrm{OC}} + \overrightarrow{\mathrm{CP}} \\ &= R \left( \sin(\theta+\psi) - \theta \cos(\theta+\psi), \cos (\theta + \psi) + \theta \sin (\theta + \psi) \right) \\ \vec{v} &= R \left( \dot{\psi} \cos(\theta+\psi) + \theta (\dot{\theta}+\dot{\psi}) \sin(\theta+\psi), -\dot{\psi} \sin(\theta+\psi) + \theta (\dot{\theta}+\dot{\psi}) \cos(\theta+\psi) \right) \\ \left| \vec{v} \right|^2 &= R^2 \left( \dot{\psi}^2 + \theta^2 (\dot{\theta}+\dot{\psi})^2 \right) \\ \mathcal{L} &= \frac{1}{2} I \dot{\psi}^2 + \frac{1}{2} m \left| \vec{v} \right|^2 \\ &= \frac{1}{2} \left( I + mR^2 \right) \dot{\psi}^2 + \frac{1}{2} mR^2 \theta^2 \left( \dot{\theta} + \dot{\psi} \right)^2 \end{aligned}$$

問 9.

$$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\theta}} &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} mR^2 \theta^2 \left( \dot{\theta} + \dot{\psi} \right) \\ &= mR^2 \left( 2 \theta \dot{\theta} (\dot{\theta}+\dot{\psi}) + \theta^2 (\ddot{\theta}+\ddot{\psi}) \right) \\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \theta} &= mR^2 \theta \left( \dot{\theta} + \dot{\psi} \right)^2 \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\psi}} &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \left( \left( I+mR^2 \right) \dot{\psi} + mR^2 \theta^2 \left( \dot{\theta} + \dot{\psi} \right) \right) \\ &= \left( I+mR^2 \right) \ddot{\psi} + 2mR^2 \theta \dot{\theta} \left( \dot{\theta} + \dot{\psi} \right) + mR^2 \theta^2 \left( \ddot{\theta} + \ddot{\psi} \right) \\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \psi} &= 0 \end{aligned}$$

なので、 $\theta, \psi$ に関するオイラー-ラグランジュ方程式はそれぞれ次のようになる：

$$\begin{aligned} 2 \theta \dot{\theta} \left( \dot{\theta}+\dot{\psi} \right) + \theta^2 \left( \ddot{\theta}+\ddot{\psi} \right) &= \theta \left( \dot{\theta} + \dot{\psi} \right)^2 \\ \left( I+mR^2 \right) \ddot{\psi} + 2mR^2 \theta \dot{\theta} \left( \dot{\theta} + \dot{\psi} \right) + mR^2 \theta^2 \left( \ddot{\theta} + \ddot{\psi} \right) &= 0 \end{aligned}$$

問 10.

問 9 からわかるように、

$$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \left( \left( I+mR^2 \right) \dot{\psi} + mR^2 \theta^2 \left( \dot{\theta} + \dot{\psi} \right) \right) = 0 \end{aligned}$$

つまり、

$$\begin{aligned} \left( I+mR^2 \right) \dot{\psi} + mR^2 \theta^2 \left( \dot{\theta} + \dot{\psi} \right) \end{aligned}$$

は保存量である。

問 11.

$t=0$ において $\theta = 0, \ \dot{\psi}=0$ であるから、 問 10 の保存量は $t \geq 0$ において $0$ である：

$$\begin{aligned} \left( I+mR^2 \right) \dot{\psi} + mR^2 \theta^2 \left( \dot{\theta} + \dot{\psi} \right) = 0 \\ \therefore \ \ \dot{\psi} = - \frac{mR^2 \theta^2 \dot{\theta}} {I + mR^2 + mR^2 \theta^2} \end{aligned}$$

$t \gt 0$ において $\theta \gt 0, \ \dot{\theta} \gt 0$ であるから $\dot{\psi} \lt 0$ であり、円柱は時計回りに回転することがわかる。

問 12.

$t=0$ での質点の運動エネルギー $(1/2)mv_0^2$ の一部は円柱の運動エネルギーとなるので、質点の運動エネルギーは保存しない。