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名古屋大学 理学研究科 生命理学領域 2020年度 [83]–[85]

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Author​

祭音Myyura (Based on Miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

Description​

同じ実験を独立に nn 回行った。ii 番目の実験における観測値を xix_i とする。この実験結果は平均値 aa、標準偏差 σ\sigma の正規分布に従うと仮定した場合、[83]～[85] の問いに答えよ。

[83]​

平均値 aa を推定する式として、最も適当なものを選べ。

番号式
11n∑i=1nxi\frac1n\sum_{i=1}^n x_i
21n−1∑i=1nxi\frac1{n-1}\sum_{i=1}^n x_i
31n−1∑i=1nxi2\frac1{n-1}\sum_{i=1}^n x_i^2
41n∑i=1nxi2\frac1n\sum_{i=1}^n x_i^2
51n∑i=1n(xi−xˉ)2\frac1n\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2、ただし xˉ=1n∑i=1nxi\bar x=\frac1n\sum_{i=1}^n x_i

[84]​

標準偏差 σ\sigma を推定する式として、最も適当なものを選べ。ただし、xˉ=1n∑i=1nxi\bar x=\dfrac1n\sum_{i=1}^n x_i とする。

番号式
11n∑i=1n(xi−xˉ)2\frac1n\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2
21n−1∑i=1n(xi−xˉ)2\frac1{n-1}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2
31n∑i=1n(xi−xˉ)2\sqrt{\frac1n\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2}
41n−1∑i=1n(xi−xˉ)2\sqrt{\frac1{n-1}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2}
51n−2∑i=1n(xi−xˉ)2\sqrt{\frac1{n-2}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2}

[85]​

[83] で求めた平均値推定値が持つ標準偏差（標準誤差）を推定する式として、最も適当なものを選べ。

番号式
11n(n−1)∑i=1n(xi−xˉ)2\frac1{n(n-1)}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2
21n∑i=1n(xi−xˉ)2\frac1n\sqrt{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2}
31n−1∑i=1n(xi−xˉ)2\frac1{n-1}\sqrt{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2}
41n(n−1)∑i=1n(xi−xˉ)2\sqrt{\frac1{n(n-1)}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2}
51(n−2)(n−1)∑i=1n(xi−xˉ)2\sqrt{\frac1{(n-2)(n-1)}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2}

题目描述​

将同一实验独立进行 nn 次，记第 ii 次实验的观测值为 xix_i。假设实验结果服从均值 aa、标准差 σ\sigma 的正态分布，回答 [83]～[85]。

[83]

选择估计均值 aa 的最合适公式。

编号式
11n∑i=1nxi\frac1n\sum_{i=1}^n x_i
21n−1∑i=1nxi\frac1{n-1}\sum_{i=1}^n x_i
31n−1∑i=1nxi2\frac1{n-1}\sum_{i=1}^n x_i^2
41n∑i=1nxi2\frac1n\sum_{i=1}^n x_i^2
51n∑i=1n(xi−xˉ)2\frac1n\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2、其中 xˉ=1n∑i=1nxi\bar x=\frac1n\sum_{i=1}^n x_i

[84]

选择估计标准差 σ\sigma 的最合适公式，其中 xˉ=1n∑i=1nxi\bar x=\dfrac1n\sum_{i=1}^n x_i。

编号式
11n∑i=1n(xi−xˉ)2\frac1n\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2
21n−1∑i=1n(xi−xˉ)2\frac1{n-1}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2
31n∑i=1n(xi−xˉ)2\sqrt{\frac1n\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2}
41n−1∑i=1n(xi−xˉ)2\sqrt{\frac1{n-1}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2}
51n−2∑i=1n(xi−xˉ)2\sqrt{\frac1{n-2}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2}

[85]

选择估计 [83] 中均值估计量所具有的标准差（标准误）的最合适公式。

编号式
11n(n−1)∑i=1n(xi−xˉ)2\frac1{n(n-1)}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2
21n∑i=1n(xi−xˉ)2\frac1n\sqrt{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2}
31n−1∑i=1n(xi−xˉ)2\frac1{n-1}\sqrt{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2}
41n(n−1)∑i=1n(xi−xˉ)2\sqrt{\frac1{n(n-1)}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2}
51(n−2)(n−1)∑i=1n(xi−xˉ)2\sqrt{\frac1{(n-2)(n-1)}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2}

Kai​

[83]​

標本平均を用いるので、答えは 1。

a^=xˉ=1n∑i=1nxi.\boxed{\hat a=\bar x=\frac1n\sum_{i=1}^n x_i}.

独立性から E[Xˉ]=aE[\bar X]=a、Var⁡(Xˉ)=σ2/n\operatorname{Var}(\bar X)=\sigma^2/n である。

[84]​

通常の標本標準偏差を用いれば、答えは 4。

s=1n−1∑i=1n(xi−xˉ)2.\boxed{s=\sqrt{\frac1{n-1}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2}}.

平均を同じ標本から推定しているので、偏差には ∑i(xi−xˉ)=0\sum_i(x_i-\bar x)=0 という一つの制約があり、自由度は n−1n-1。実際に、

E ⁣[∑i(Xi−Xˉ)2]=E ⁣[∑i(Xi−a)2−n(Xˉ−a)2]=nσ2−nσ2n=(n−1)σ2.\begin{aligned} E\!\left[\sum_i(X_i-\bar X)^2\right] &=E\!\left[\sum_i(X_i-a)^2-n(\bar X-a)^2\right]\\ &=n\sigma^2-n\frac{\sigma^2}{n}=(n-1)\sigma^2. \end{aligned}

よって s2s^2 は母分散の不偏推定量である。ただし、平方根を取った ss 自身が σ\sigma の不偏推定量になるわけではない。

[85]​

SD⁡(Xˉ)=σ/n\operatorname{SD}(\bar X)=\sigma/\sqrt n に対し、σ\sigma を ss で置き換える。答えは 4。

SE⁡^(Xˉ)=sn=1n(n−1)∑i=1n(xi−xˉ)2.\boxed{\begin{gathered} \widehat{\operatorname{SE}}(\bar X)=\frac{s}{\sqrt n}\\ =\sqrt{\frac1{n(n-1)}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2} \end{gathered}}.

推定法について​

設問には推定法が明記されていない。上記は実験データの標準偏差・標準誤差として通常用いる標本分散の補正に基づく選択である。一方、正規分布の最尤推定に限定すれば、σ^ML=∑i(xi−xˉ)2/n\hat\sigma_{\mathrm{ML}}=\sqrt{\sum_i(x_i-\bar x)^2/n} となり、[84] は 3、その代入による [85] は 2 となる。

Reference​

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