名古屋大学 多元数理科学研究科 2022年2月実施 1日目 [2]

标签：

• Nagoya-University
• Matrix-Rank
• Eigenvalues-and-Eigenvectors
• Matrix-Diagonalization

Author

江澤 樹

Description

$t$ を実数とし, 以下の行列 $A$ について考える.

$$A = \begin{pmatrix} t^2+1 & 0 & -1 \\ 0 & -t^2-\frac{1}{2} & 0 \\ 1 & 0 & -t^2-1 \end{pmatrix}$$

(1) $A$ の階数を求めよ.

(2) $A$ の固有値を求めよ.

(3) $A$ が対角化可能であるための必要十分条件を求めよ.

题目描述

设 $t\in\mathbb R$，考虑矩阵

$$A=\begin{pmatrix} t^2+1&0&-1\\ 0&-t^2-\frac12&0\\ 1&0&-t^2-1 \end{pmatrix}.$$

1. 求 $A$ 的秩。
2. 求 $A$ 的全部特征值。
3. 求 $A$ 可对角化时 $t$ 满足的充要条件。

考点

• 含参数矩阵的秩：依据行列式及特殊参数下的行列关系分类。
• 特征值：利用矩阵的分块结构求特征多项式和全部特征值。
• 矩阵对角化判据：分析重特征值对应的几何重数，确定参数导致 Jordan 块出现的情形。

Kai

(1) では行列式を計算して, $\text{rank}A < 3$ となる $t$ を絞り込むことから考えた. (2) は単純な計算であった. 重複度については (3) の解答で議論している. (3) は (2) で求めた固有値の重複の可能性を考え始め, 各固有値につて重複度と固有空間の次元と比較している.

(1)

まず, $A$ の行列式が

$$|A| = \begin{vmatrix} t^2+1 & 0 & -1 \\ 0 & -t^2-\frac{1}{2} & 0 \\ 1 & 0 & -t^2-1 \end{vmatrix} = \frac{1}{2}t^2(t^2+2)(2t^2+1)$$

と計算できる. よって, $t$ が実数であることに注意すれば $t \neq 0$ のときに限り $|A| \neq 0$ となり, $\text{rank}A = 3$ となる. また, $t = 0$ のときは

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & -\frac{1}{2} & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}$$

となるが, これは $A$ の各行に注目すれば $\text{rank}A = 2$ となっていることがわかる. よって

$$\text{rank}A = \begin{cases} 3 &(t \neq 0) \\ 2 &(t = 0) \end{cases}$$

と求まる.

(2)

$A$ の固有多項式は $x$ を不定元として

$$|xI - A| = \begin{vmatrix} x - (t^2+1) & 0 & 1 \\ 0 & x - (-t^2-\frac{1}{2}) & 0 \\ -1 & 0 & x - (-t^2-1) \end{vmatrix} = (x+\frac{1}{2}(2t^2+1))(x^2-t^2(t^2+2))$$

と計算できるため $A$ の固有値は

$$-\frac{1}{2}(2t^2+1), \ \pm\sqrt{t^2(t^2+2)}$$

と求まる(これらは重複している可能性もあるが, それは (3) において決定する).

(3)

求める条件は「$t \neq 0$」である. よく知られているように, 正方行列が対角化可能であるための必要十分条件は「各固有値の(固有多項式の根としての)重複度と固有空間の次元が一致している」ことである (齋藤正彦, 線型代数入門, 東京大学出版会. p.136). このことに注意して, (2) で求めた $A$ の固有値の重複の可能性から議論し, 固有空間の次元と比較する.また, ここでは固有値 $\lambda$ についての固有空間を $V_{\lambda}$ と書くことにする. まず, $-(2t^2+1)/2 \leq -1/2$ かつ $\sqrt{t^2(t^2+2)} \geq 0$ よりこの2つが一致することはない. さらに, $-(2t^2+1)/2 = -\sqrt{t^2(t^2+2)}$ を解くと $t = \pm 1/2$ である. そして, $\pm \sqrt{t^2(t^2+2)}$ が一致し1つの実数を表すのは $t=0$ のときに限る. 以上により, まず, (i) $t \neq \pm 1/2,0$ のとき固有値に重複がないため A は対角化可能である. さらに, (ii) $t = \pm 1/2$ のとき

$$A = \begin{pmatrix} \frac{5}{4} & 0 & -1 \\ 0 & -\frac{3}{4} & 0 \\ 1 & 0 & -\frac{5}{4} \end{pmatrix}, \quad V_{-3/4} = \left \langle \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right \rangle, \quad V_{3/4} = \left \langle \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right \rangle$$

から各固有値 $\pm 3/4$ について重複度と固有空間の次元は一致している. よって, $A$ は対角化可能である. そして, (iii) $t = 0$ のとき

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & -\frac{1}{2} & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}, \quad V_{-1/2} = \left \langle \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right \rangle, \quad V_{0} = \left \langle \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right \rangle$$

から固有値 $0$ について重複度は $2$ で, 固有空間の次元が $1$ だから $A$ は対角化可能でない. 以上 (i),(ii),(iii) により $A$ が対角化可能であるための必要十分条件は

$$t \neq 0$$

である.